双曲函数在积分换元中的应用

常见的双曲函数为：
cosh⁡t=12(et+e−t),sinh⁡t=12(et−e−t)\cosh t=\frac{1}{2}\left(e^{t}+e^{-t}\right), \quad \sinh t=\frac{1}{2}\left(e^{t}-e^{-t}\right) cosht=21(et+e−t),sinht=21(et−e−t)
他们的性质如下：
(1) (cosh⁡t)′=sinh⁡t,(sinh⁡t)′=cosh⁡t(\cosh t)^{\prime}=\sinh t,(\sinh t)^{\prime}=\cosh t(cosht)′=sinht,(sinht)′=cosht
(2) cosh⁡2t−sinh⁡2t=1,cosh⁡2t=cosh⁡2t+sinh⁡2t,sinh⁡2t=2sinh⁡tcosh⁡t\cosh ^{2} t-\sinh ^{2} t=1, \cosh 2 t=\cosh ^{2} t+\sinh ^{2} t, \sinh 2 t=2 \sinh t \cosh tcosh2t−sinh2t=1,cosh2t=cosh2t+sinh2t,sinh2t=2sinhtcosht
(3)x=sinh⁡tx=\sinh tx=sinht 的反函数为 t=ln⁡(x+1+x2)t=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})t=ln(x+1+x2), x=cosh⁡tx=\cosh tx=cosht 的反函数为 t=ln⁡(x+x2−1)t=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})t=ln(x+x2−1)
对于a2+x2\sqrt{a^2+x^2}a2+x2类型，我们可以令x=asinh⁡tx=a\sinh tx=asinht(其实也可以进行x=tan⁡xx=\tan xx=tanx或者x=cot⁡xx=\cot xx=cotx的替换，只不过上述方法更简单)。

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