二进制加法

我已经忘了是什么时候学的加法了，应该是小学吧，先学10以内的，再学100以内的，然后不管多大的数都可以随便加了，算式很简单，就是逢10进1。

下面这个式子是一个万以内的加法：

相应的，二进制就是逢2进1，下面这个式子是2个8位二进制数的加法计算：

半加器

8位二进制数还太复杂，我们先来看看1位二进制数怎么计算的，一共有以下4种情况：

观察一下就能发现2个规律。

第一个规律，只考虑加法，不考虑进位时，加数与和之间的关系如下：

相同为0，不同为1。这个关系和「异或门」是相同的：

异或门我们之前没有聊到过，电路图长这样：

第二个规律是，如果只考虑进位，不考虑加法，加数与进位之间的关系如下：

只有全1时，才为1。发现了吗，这和本文开头与门的真值表是一样的。

2个一位二进制数相加将产生一个加法位和一个进位位，加法位输入与输出的关系跟与门是一样的，进位位跟异或门相同。

所以，可以像这样把两个门电路连起来，计算2个二进制数(A和B)的和：

我们称这个电路为「半加器」，因为它只能计算2个一位二进制数的加法，没有办法将前面加法可能产生的进位纳入下一次计算中，如果有进位则实际上是需要3个加数参与计算。

用门电路画太复杂，可以封装起来这样表示半加器：

全加器

怎样计算3个加数的二进制加法呢？需要将2个半加器和一个或门如图连接起来：

左边能看到它有3个输入，右边依旧是1位加和输出，1位进位输出。

2个数的加和与上一次的进位相加，得出的加和作为3个数最终的加和；2个数相加或3个数相加的进位作为3个数加和最终的进位位。

用文字描述有点不好理解，把这个电路图全部输入和输出情况都展示出来，画一个表就明白了：

很明显，这个表就是2个一位二进制数带进位的全部状态。

每次做加法时画2个半加器和一个或门很麻烦，我们用下面这个图示把它们封装起来，这个能计算3位二进制数加法的电路就称为「全加器」。

加法器

现在回到开头那个二进制加法：

它有8个二进制位，到目前为止我们还只能计算2个一位二进制数，最多再增加一个进位的加法，我们最终的目标当然是2个8位、16位乃至32位数的加法。

其实，非常简单，用8个全加器一块算！

把8个全加器每个进位输出作为下一个的进位输入，首尾相连就可以啦！

每次这样画太麻烦，可以封装成一个框图：

大箭头代表8个输入/输出端，有8个独立的信号。

一旦我们拥有了8位二进制加法器，把它们级联起来，很容易就能得到一个16位或32位的加法器啦。

end

加法计算是计算机的基本运算，其实，计算机唯一的工作就是做加法计算。不论是减法、乘法、除法、在线支付、火箭升空还是AI下棋，都是利用加法实现的。

把加减乘除和逻辑运算等运算单元集成起来，就组成了CPU中的基本计算单元：ALU(算术逻辑单元Arithmetic and Logic Unit)。

用加法器计算2个数的加法其实就是用硬件方式实现了一个加法计算器，输入A和输入B的高低电平决定了输出S和CO的高低电平。

这样的电路同一时刻只能表示一种状态，只要改变了A、B中任意一位，输出就会有所变化。

现在我们想计算更多二进制数的加法，比如5个数A、B、C、D、E的加法(先不考虑进位)。

步骤应该是这样：首先把A、B作为输入，得出一个输出S1，我们要记下来S1的值，然后把S1和C作为输入，得出S2....以此类推，要记下很多个数，然后再用加法器计算。

5个数都已经很麻烦了，如果要计算更多个数该怎么办？能不能把每次计算完的结果存起来，下次继续使用呢？

我们的需求

这个加法器有个特点，就是两个加数A和B的值决定着加和S的值。

这个值是实时决定的，也就是说，A、B中只要有一个数据位发生了改变(0变1或1变0)，加和就一定、立即发生改变。

我们如果想用这个加法器算「累加和」将会很麻烦，比如5个数A、B、C、D、E的加法。

首先把A、B作为输入，得出一个输出S1，我们要记下来S1的值，然后把S1和C作为输入，得出S2....以此类推，要记下很多个数，然后再用加法器计算。

工程师怎么会做这种无脑循环的工作呢，得想办法交给计算机寄几做。

好像只要做一个什么器件连在这个加法器的输出上，这个新器件能够保存加法器输出的和，并将算好的和再作为一个参数输入，传递给加法器就可以了。

注意这个新器件，首先它支持输入和输出；其次它能「保存」当前的值；最后，有一个类似「开关」的引脚决定它是否保持当前的值。

「保存」是什么意思？其实很好理解，就是不论输入的数据位怎么变化，输出都不变。

不考虑8个数据位，先只搭建一个这样具有「保存」功能的门电路，能保存一个bit就ok。

或非门点灯

科岩已经点灯无数，这次依然从点灯开始，用或非门试一下。

「或非门」的真值关系如下表，记住输入只要有1，输出一定为0就可以了。

或非门的符号：

按照下面这个电路把两个或非门与一个小灯泡连起来，如图：

仔细观察，能发现我把右边或非门的输出直接作为输入连接到左边或非门上，这会产生什么神奇的现象呢？

如上图，最开始，左边或非门的输入都是0，输出为1；右边或非门输入一个是0，一个是1，输出0，灯泡是不亮的。

现在把开关S1连通，连通瞬间，左边或非门输出0，右边或非门输出1，灯泡被点亮，然后右边或非门输出的1给到左边或非门，2个输入都是1，它的输出为0保持不变，灯泡点亮不变。

接着我们把开关S1断开，如下图神奇的事情发生了，灯泡依然保持点亮状态！因为左边或非门仍有一个输入是1。

如果把S2闭合会怎样呢？灯泡马上熄灭了。

这时再打开S2，电路回到最初的状态，灯泡还是熄灭状态。

可以总结规律了：

•导通S1，灯泡点亮，不论我们怎么控制S1，灯泡都是亮的•导通S2，灯泡熄灭，不论我们怎么控制S2，灯泡都是亮的

这不就达到我们想要的「保存」功能了嘛，不论输入的数据位怎么变化，输出都不变。

触发器(Flip-Flop)

像上面把两个或非门连起来，能够稳定保存电路状态的电路被称为「触发器」。

Flip-Flop的意思是「翻转」，中文翻译比较奇怪，我们通常理解的触发器是Trigger，不过没关系，其实就是个名称而已。

上面这个触发器叫做R-S触发器，它有2个输入端S(Set)和R(Reset)，2个输出端Q和~Q(实在打不出Q上面的横线o(╥﹏╥)o)。

当S为1时，输出Q为1，~Q为0；当R为1时，输出Q为0，~Q为1；当S和R都为0时，输出Q和~Q保持不变；当S和R都为1时是一个不正确的状态，我们不使用这个状态。

不是特别绕吧？画个表：

R-S触发器最大特点就是它能记住2个输入端的状态。想要记住上一次的状态时，把2个输入端都置0就可以了。

每次画2个或非门太麻烦，封装一下：

end

有了触发器，计算机除了算些加减乘除、与或非逻辑运算，开始具备了存储功能，我觉得触发器真是一个神奇的存在，把平平无奇的门电路连起来竟然就赋予了计算机「记忆」。

计算机中寄存器(Register)、内存(RAM)最最基础的组成单元就是触发器。

理解了触发器的工作原理，也就理解了内存的工作原理。

编辑：jq