机器人理论（3）DH表达法：解析关节轴之间的关系
导言
我们都知道关节一般会导致(驱动)机械臂产生两种状态：平移或者转动。也知道我们需要借助坐标系来描述物体的姿态和位置信息，那如何为一整个机械臂建立一个完整的坐标系，从而能够求解每个关节通过平移/旋转多少值让机械臂最终拿到我们的目标物品呢？在这里需要借助DH表达法来定义我们的坐标系的作法，并且给出需要求解的数值（平移/旋转
）在空间上的表达。
本节是学习正逆向运动学的基础。
D-H表达法（Denavit-Hartenberg）
DH表达法有两个通用版本，一个是标准版（standard），一个是craig版本，在这先使用craig版本作解释。
一般（驱动）关节（joint）分为两种：转轴（R型,revolute）或者 滑动杆 / 平移（P型,prismatic）
目录
如何构建DH表格
相关例题
DH表的作用
相关例子（PUMA560）
扩展（选读）
DH表达法的另一个版本（标准版）
复合型关节如何得到驱动数值
如何构建DH表格
构建DH表格首先需要画出坐标系，然后根据坐标系的数据做表。
（1）如何确定 轴？
首先找到每个关节的转动/平移方向
平移关节 : 沿着平移方向画 轴
转轴关节 :垂直转动方向做 轴
注：方向不唯一，全凭喜好或条件选择轴向正负
可以看到这个机械臂由转动、平移、转动关节组成，即所谓的RPR类型机械臂。
（2）如何确定 轴？
上过高中的一定知道啦，空间中的两条线一定能找到一条线与它们都垂直。
找到一条与关节 、关节
的
轴都垂直并相交的线，这条线就是
轴 。
注：方向不唯一，全凭喜好或条件选择轴向正负
需要注意的是（ 下面的(5) 解释了 是个什么东西 ）:
与
不在同一平面上时：
≠0，
轴沿着这条线。
与
在同一平面上：
=0
（3）如何确定 轴？
已知 轴、
轴，与它们两两垂直的就是
轴。（符合坐标系的右手定则）
（4）处理特殊点的坐标系（最开始、最后的）
由上述三点，一般杆件的驱动坐标系都定义出来了。还有两个特殊的杆件：地杆和端杆，我们如何处理？
- 地杆（第0杆，link 0）：无关节驱动、不动的
当 = 0 （或
= 0 ）时的关节1的坐标系，就可当作地杆的关节坐标系（如图红色所示）。
注：这个坐标系定义后不会变动，一般作为整个机械臂的参考坐标系使用。
- 端杆（最后一杆,link n）：
端杆依靠最后一个关节的运动改变坐标位置
一般使用上一个关节的坐标系的 轴延伸直线作为端杆的
轴。
（5）构建DH表格
（注意区分 和
）
: 即关节
与关节
两者
轴的最短举例（即垂直距离）
：即关节
与关节
两者
轴的角度差
: 即
与
的最短距离
：即
与
的角度差
一般 以上/右为正，
以逆时针方向为正方向。
如果仅是表达两杆，只需要、
即可。如果是多杆（一般情况），涉及到的信息矩阵T的运算需要
、
参数。
然后根据情况将机械臂的数值写到表中：
一般而言，杆的长度我们都是已知的，数值都是可以直接得到的，所以有：
对于转轴而言，、
、
都是已知的。
是未知的，它是这个关节的驱动数值。
对于动杆而言，、
、
都是已知的。
是未知的，它是这个关节的驱动数值。
相关例题
（[扩展]中以此图为例）
DH表的作用
我们通过齐次矩阵{T}能轻易知道两个关节杆子相互之间的联系与位置转换，通过{T}的运算连续性也很容易知道不相邻杆件关节间的状态：
通过上式可以得知，如果我们想把物体向量从{
}的表达转换到{
},则需要依次经过从
到
，从
到
.....
这样就能让我们的机械臂一步一步慢慢触碰到目标物体了。
那么我们如何得知的具体数值呢？
DH表的最大作用就是为齐次矩阵 T 提供了必要的数值。
从而可以使关节0通过相应的T矩阵到关节1的位置，关节通过T矩阵到达关节
的位置，一个推一个，最终达到目标位置。
由于（二）中提到的，齐次矩阵{T}的特性，可以推出：
这个矩阵的意思是：
关节i-1怎么到关节i呢？
首先是围绕轴逆时针转动
（蓝色->绿色），然后再沿着
轴向右平移
（绿色->橙色）
然后再围绕轴逆时针转动
（橙色->紫色），然后再沿着
轴向上平移
（紫色->红色）
然后就能得到固定公式 =
相关例子（PUMA560）
这是很经典的一个机械手臂——PUMA 560.现在需要求出 .
求解过程
1）首先画出DH表（用Craig方式）
2）使用T矩阵的连续性求解
根据之前提供的公式，这六个矩阵有：
扩展（选读）
DH表达法的另一个版本（标准版）
之前有提到DH表达法由两种版本，本博客举例的是craig版本的，而不是早期教材中的standard版本。
他们的区别是：
1、名称上的区别，前者的关节的表示英文为axis ,后者为 joint
2、代号定义上的区别，前者是关节i后面接杆件
，后者是关节i后面接杆件
.
3、坐标系的画法标准不同，关于
轴的画法，前者是
指向
，后者是
指向
4、运算上的复杂度区别，后者需要的运算量稍微大了点。（以[相关例子]的最后一个图为例）
复合型关节如何得到驱动数值
之前说过了，一般的关节分两种：转轴或者滑动杆。
其中转轴的驱动机械臂运动的数值取决于
，滑动杆取决于
。
但是实际上的需求关节会有更复杂的，这里以这个机器人的轮腿为例:
可以看到的轮子不只可以转动，而且由于可以“上上下下”，所以可以达到“走路”的效果。
所以这是由两个马达控制的关节驱动，一个控制转动
。
,
代表的是两个马达的状态。
感谢：课程内容、PPT来自林沛群教授的《机器人学》课程
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