计算方法 | 绪论和插值（详细例题）

1.1 填空题

1、分别用 2.718281，2.718282 作数 e 的近似值，则其有效数字分别有 (6) 位和 (7) 位。

1.2 选择题

取 √ 3 ≈ 1.732，现在计算 x = (√ 3 − 1)^4，哪种方法最好？(C)

(A) 28 − 16√ 3

(B) (4 − 2 √ 3)^2

(C) 16 /((4+2√ 3)^2)

(D) 16 /(( √ 3+1)^4)

1.3 计算题

假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为 50.00m 和 100.00m，且已知其测量误差为 0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差？

注：PI取3.141

绝对误差：157.0796

相对误差：0.0002

1.4 证明题

证明方程 f(x) = e^x + 10x − 2 在区间 [0, 1] 内有唯一的实根，使用二分法求这一实根，要求误差不超过 1/2 × 10^−2？

证明：

f(0) = -1 < 0 , f(1)=e+8 > 0 ===> 方程 f(x)在区间 [0, 1] 内有唯一的实根

f(0.5)=4.648>0 ===> f(0.25)=1.784>0 ===> f(0.125)=0.383>0 ===> f(0.0625)= -0.311<0 ===>f(0.09375)=0.0357>0 ===> f(0.078125)=-0.137<0 ===> f(0.0859375)=-0.050 ===> f(0.08984375)=-0.0075 ===> f(0.091796875)=0.0141 ===> f(0.0908203125)=0.0032< 1/2 × 10^−2

===>实根是0.0908203125

1.5 编程题

编程实现二分法算法？

import math
def f(x):return e**x+10*x-2
e,a,b,t = math.e,0,1,0.5
while abs(f(t))>0.005:t = (a+b)/2if f(t)>0:b=telse:a=tprint('x=%f  ===>  f(x)=%f'%(t,f(t)))
print("实根是:%f"%t)

输出：

x=0.500000  ===>  f(x)=4.648721
x=0.250000  ===>  f(x)=1.784025
x=0.125000  ===>  f(x)=0.383148
x=0.062500  ===>  f(x)=-0.310506
x=0.093750  ===>  f(x)=0.035785
x=0.078125  ===>  f(x)=-0.137492
x=0.085938  ===>  f(x)=-0.050887
x=0.089844  ===>  f(x)=-0.007559
x=0.091797  ===>  f(x)=0.014111
x=0.090820  ===>  f(x)=0.003275
实根是:0.090820

1.6 填空题

已知 f(x) = x^3 + x + 1，差商 f[0, 1, 2, 3] = (1)，f[0, 1, 2, 3, 4] = (0)。

1.7 计算题

下表是中国新冠肺炎疫情自 2.9 日到 2.17 日真实确认人数 (数据来自Wuhan 2020)。

日期 9 10 11 12 13 14 15 16 17

确诊人数 37289 40262 42747 44765 59885 63950 66581 68595 70644

现以 (9,11,13,15,17) 为样本点，试用拉格朗日插值方法，预测 (10,12,14,16) 日的确诊人数，并与真实值进行比较，计算绝对误差。

10 : 36006.1953125 绝对误差为： 4255.8046875

12 : 51940.1328125 绝对误差为： 7175.1328125

14 : 64751.6953125 绝对误差为： 801.6953125

16 : 67284.3828125 绝对误差为： 1310.6171875

1.8 计算题

对上表数据以 (9,11,13,15,17) 为样本点，试用牛顿插值方法，预测 (10,12,14,16) 日的确诊人数，并与真实值进行比较，计算绝对误差。

9	37289
11	42747	2729
13	59885	8569	1460
15	66581	3348	-1305.25	-460.875
17	70644	2031.5	-329.125	162.6875	77.9453125

10 : 36006.1953125 绝对误差为： 4255.8046875

12 : 51940.1328125 绝对误差为： 7175.1328125

14 : 64751.6953125 绝对误差为： 801.6953125

16 : 67284.3828125 绝对误差为： 1310.6171875

1.9 计算题

求次数 ≤ 3 的多项式 p(x)，使满足如条件：

p(0) = 0, p(1) = 1

p ′ (0) = 1, p′ (1) = 2

解：

===>f(x) = x^3-x^2+x

1.10 问答题

给定插值点 (xi , yi), i = 0, 1, 2, · · · , n，可分别构造 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式，证明两者相同并说明各自具有的特点？

证明：

由于Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式求f(x)的本质都是用多项式模拟函数，之后求出多项式参数的方法

所以两者所求出的f(x)是相同的。

各自的特点：

Lagrange 插值多项式：

1 插值点要求等距；

2 插值基函数形式简单，但计算比较复杂；

3 当有新的插值点加入时，基函数要重新计算；

4 高次插值的精度不一定高；

Newton 插值多项式：

1、当有新的插值点加入时，基函数不需要重新计算；