数学思想：4、数学归纳法
数学归纳法
什么是数学归纳法
对于某些使用迭代法或者递归的代码，验证的时候可以避免一步步的计算，直接从理论上证明某个结论，节约大量的计算资源和时间，这就是数学归纳法。
数学归纳法的步骤
- 证明基本情况（通常是 n = 1 的时候）是否成立
- 假设n = k - 1 成立，再证明 n = k 也是成立的（k 为任意大于1的自然数）
数学归纳和递归的关系
递归调用的代码和数学归纳法的逻辑是一致的，只要证明数学归纳法的逻辑是对的，递归调用的逻辑就是对的，没必要纠结递归函数是如何嵌套调用和返回的
数学归纳法最大的特点就是在于归纳。它已经总结出了规律。只要能证明这个规律是正确的，就没必要进行逐步的推算，节省了很多时间还和资源
练习
背景
古印度国王舍罕酷爱下棋，他打算重赏国际象棋的发明人宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣指着象棋盘对国王说：“陛下，我不要别的赏赐，请您在这张棋盘的第一个小格内放入一粒麦子，在第二个小格内放入两粒，第三小格内放入给四粒，以此类推，每一小格内都比前一小格加一倍的麦子，直至放满 64 个格子，然后将棋盘上所有的麦粒都赏给您的仆人我吧！”
结果：从第一格到第8格的麦子分别是：1、2、4、8、16、24、32、64、128 、…分析
得出来的命题- 第n格的麦粒数是2n−12^{n-1}2n−1
- 前n个棋格订单麦粒总数和为2n2^n2n -1
证明
命题1证明
- 当n = 1 的时候，麦粒数：1，因此命题在n-1成立
- 当n = k - 1 时， k - 1格的麦粒数为2k−22^{k-2}2k−2， 那么第k格的麦粒数为第k-1格的2倍，也就是2k−22^{k-2}2k−2*2 = 2k−12^{k-1}2k−1 因此命题在n=k-1成立，也就是n=k的时候也成立
命题2证明
- 当n = 1 的时候，所有格子的麦粒总数为1，因此命题在n = 1的时候成立
- 当n = k - 1 的时候，前k - 1 格的麦粒总数为2k-1-1，基于前一个命题的结论，第k格的麦粒数为2k-1。那么前k格的麦粒总数为(2k-1 -1)+(2k-1) = 2*2k-1-1=2k2^k2k-1 = 2k2^k2k -1
图片引用于 极客时间–>黄申
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