Prophet模型详细原理

主要是为了自己以后可以及时查看笔记，如果有小伙伴有什么想法非常欢迎一起讨论。

模型形式

prophet模型原理是y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+ϵy(t) = g(t)+s(t)+h(t)+\epsilon y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+ϵ
其中g(t)g(t)g(t)是趋势函数，s(t)s(t)s(t)表示周期性函数，h(t)h(t)h(t)表是节假日、假期函数，ϵ\epsilonϵ表示误差或者是噪声等。

prophet模型依据的是时间序列的分解，有两种基本的形式：
y=g(t)+s(t)+h(t)+ϵy=g(t)+s(t)+h(t)+\epsilony=g(t)+s(t)+h(t)+ϵ和y=g(t)×s(t)×h(t)×ϵy=g(t)\times s(t)\times h(t)\times\epsilony=g(t)×s(t)×h(t)×ϵ
但是对于第二种形式，当我们考虑取对数时，很自然的就转化为第一种形式：ln(y)=ln(g(t))+ln(s(t))+ln(h(t))+ln(ϵ)ln(y) = ln(g(t))+ln(s(t))+ln(h(t))+ln(\epsilon)ln(y)=ln(g(t))+ln(s(t))+ln(h(t))+ln(ϵ)，所以两种形式可以都作为可加模型（additive model）进行讨论。

趋势函数g(t)g(t)g(t)

对于趋势函数g(t)g(t)g(t)，有两种常用的构造方式：分段线性和分段逻辑回归。

分段logistic

先来看分段逻辑回归，对于普通的logistic，对应的响应函数是11+e−x\frac{1}{1+e^{-x}}1+e−x1，在prophet中使用的与之类似，添加一些参数，变为f(x)=C1+e−k(x−m)f(x)=\frac{C}{1+e^{-k(x-m)}}f(x)=1+e−k(x−m)C其中C表示函数的最大渐进值，k表示增长率，m表示曲线的中点。

在时间序列问题中，三个参数我们一般认为是随着t变化而变化的，在现实的时间序列中，曲线的走势肯定不会一直保持不变，在某些特定的时候或者有着某种潜在的周期曲线会发生变化，存在变点，i.e.i.e.i.e. change point。在实际应用prophet模型时，变点可以认为设置，也可以使用prophet自带的参数，默认prophet是25个变点。

对于设置好的S个变点，sj,1≤j≤Ss_j,\ 1\leq j\leq Ssj, 1≤j≤S，以δj\delta_jδj表示在sjs_jsj时间戳上发生的增长率的变化量，则对于初始增长率是k，在时间ttt时刻的增长率应该等于k+∑j:t>sjδjk+\sum_{j:t>s_j}\delta_jk+∑j:t>sjδj，如果设置指示函数a:={1,forj≥sj0,otherwise\bm{a}:=\left\{\begin{aligned} 1&,\ for\ j\geq s_j\\ 0&,\ otherwise\\ \end{aligned}\right.a:={10, for j≥sj, otherwise，也就是k+aTδk+\bm{a}^T\bm{\delta}k+aTδ，每次k确定了的话参数m也要跟着确定：
γj=(sj−m−∑l<jγl)×(1−k+∑l<jδjk+∑l≤jδj)\gamma_j=(s_j-m-\sum_{l<j}\gamma_l)\times(1-\frac{k+\sum_{l<j}\delta_j}{k+\sum_{l\leq j}\delta_j})γj=(sj−m−l<j∑γl)×(1−k+∑l≤jδjk+∑l<jδj)
得到对应的分段logistic函数：g(t)=C(t)1+exp(−(k+a(t)Tδ)×(t−(m+a(t)Tγ)))g(t)=\frac{C(t)}{1+exp(-(k+\bm{a(t)}^T\bm{\delta})\times(t-(m+\bm{a(t)}^T\bm{\gamma})))}g(t)=1+exp(−(k+a(t)Tδ)×(t−(m+a(t)Tγ)))C(t)
C(t)是需要人为限定的上线。

分段线性

分段线性使用的就是线性可加模型（LAM），对应的模型形式是：
g(t)=(k+a(t)Tδ)×(t+(m+a(t)Tγ))g(t)=(k+\bm{a(t)^T\delta})\times(t+(m+\bm{a(t)^T\gamma}))g(t)=(k+a(t)Tδ)×(t+(m+a(t)Tγ))

周期函数s(t)s(t)s(t)

s(t)基于傅里叶级数提供了一个灵活的模型：
s(t)=∑n=1N(ancos⁡(2πntP)+bnsin⁡(2πntP))s(t)=\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos(\frac{2\pi nt}{P})+b_n\sin(\frac{2\pi nt}{P}))s(t)=n=1∑N(ancos(P2πnt)+bnsin(P2πnt))
其中P表示周期的时间，如果是年的话P就是365.25，如果是周的话P就是7

节假日效应h(t)h(t)h(t)

prophet最大的创新点就是可以把涉及到的节假日单独考虑，因为节假日呈现的趋势会与平日数据呈现的规律不同。

对应的节假日效应模型形式为：
h(t)=Z(t)κ=∑i=1Lκi⋅I{∈Di}h(t)=Z(t)\kappa=\sum_{i=1}^{L}\kappa_i\cdot I_{\{\in D_i\}}h(t)=Z(t)κ=i=1∑Lκi⋅I{∈Di}
其中L表示节假日的个数，κi\kappa_iκi表示对应节假日的影响范围。

函数主要参数说明

参数	描述
growth	"linear"或者"logistic"两种趋势函数
changepoints	包括潜在突变点的日期列表
n_changepoints	如果不手动指定突变点，需要设置内置自动识别突变点的突变点数目
changepoint_prior_scale	突变点选择的灵活性，解决过拟合/欠拟合的问题，越大突变点的选择越灵活
cap	在使用分段逻辑回归的时候需要设置的上限