【XSY2032】简单粗暴的题目组合数

2024-05-12 15:58:04

题目描述

　　给你n,k,a1…ann,k,a_1\ldots a_n，设

ansn=∑i=1n(∑j=ins(j))k

ans_n=\sum_{i=1}^n{(\sum_{j=i}^ns(j))}^k\\
　　求 ans1…ansnans_1\ldots ans_n

　　对109+7{10}^9+7取模

　　n≤50000,k≤100n\leq 50000,k\leq 100

题解

　　大水题

　　这题就是在搞笑

　　题解的做法是O(nklogk)O(nk\log k)的

　　随便推推就能推出O(nk)O(nk)的做法

ansn=∑i=1n(∑j=ins(j))k=∑i=1n(sn−si−1)k=∑i=1n∑j=0ksnjsi−1k−j(−1)k−j(kj)=∑i=0ksni(−1)k−i(ki)∑j=1nsj−1k−i

\begin{align} ans_n&=\sum_{i=1}^n{(\sum_{j=i}^ns(j))}^k\\ &=\sum_{i=1}^n{(s_n-s_{i-1})}^k\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k{s_n}^{j}{s_{i-1}}^{k-j}{(-1)}^{k-j}\binom{k}{j}\\ &=\sum_{i=0}^k{s_n}^i{(-1)}^{k-i}\binom{k}{i}\sum_{j=1}^n{s_{j-1}}^{k-i} \end{align}

　　维护最后那项即可。

　　时间复杂度：O(nk)O(nk)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1000000007;
ll c[110][110];
ll a[50010];
ll s[50010];
ll b[50010];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("xsy2032.in","r",stdin);freopen("xsy2032.out","w",stdout);
#endifint n,k;scanf("%d%d",&n,&k);int i,j;memset(c,0,sizeof c);for(i=0;i<=k;i++){c[i][0]=1;for(j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;}b[0]=1;s[0]=1;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);a[i]=(a[i]+a[i-1])%p;for(j=1;j<=k;j++)b[j]=b[j-1]*a[i]%p;ll ans=0;for(j=0;j<=k;j++)ans=(ans+b[j]*s[k-j]%p*c[k][j]%p*((k-j)&1?-1:1))%p;ans=(ans+p)%p;printf("%lld\n",ans);for(j=0;j<=k;j++)s[j]=(s[j]+b[j])%p;}return 0;
}

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