导数、偏导数、方向导数和梯度的基本介绍
由于误差反向传播算法中采用梯度下降算法进行权重更新,因此需要先明白梯度是什么,而梯度的解释又要从导数讲起,因此本文先大致讲解一下导数导数、偏导数、方向导数和梯度的物理意义。
1、导数
根据我们以前的学习,导数的几何意义表示该点的切线,如果从其物理意义来看,导数表示在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值,即变化率。
如果函数中只有一个自变量(即一元函数),那么表示只存在一个方向的变化率。
问题:如果函数具有两个自变量,那我们怎么去确定其变化率?这时候需要引入偏导数。
2、偏导数
如果函数具有两个自变量,那么其图形是空间直角坐标系Oxyz中的曲面,假设表达式如下:
对于该曲面上的任意一个点而言,存在无数个方向的变化率。如果要表示沿着坐标轴两个方向的变化率,就采用偏导数表示,具体地,如果是函数值要沿着x轴的方向的变化率,对x求偏导,此时函数在y方向不变(即将y视为常数)。如果是函数值要沿着y轴的方向的变化率,对y求偏导,此时函数在x方向不变(即将x视为常数)。下图直观展示了曲面函数(橙色)、函数在y=y0平面上的曲线函数(绿色)和函数在x=x0平面的曲线函数(蓝色)。
下面展示一下相对于y轴的求偏导的定义
函数在点(x0,y0)对x和y求偏导,如式(3)和式(4),
3、方向导数
上述除了坐标轴方向的变化率,还有很多方向的变化率,对于任意方向的变化率我们称为方向导数。
4、梯度
方向导数中取到最大值的方向就是梯度的方向,梯度的值是方向导数的最大值。因此梯度是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。
总结
导数:函数在曲线上某点的变化率;
偏导数:函数在x和y坐标轴方向上某点的变化率;
方向导数:函数在某点沿任意方向的变化率;
梯度:方向导数变化率最大的矢量;
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