·大O记法

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，
进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，
也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，
算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

1、常数阶

定义：与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

下面这个算法，也就是高斯算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 *
/printf("%d", sum); /* 执行一次 */

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。

根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。

在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。

对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，

所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2、对数阶

int count = 1;
while (count < n)
{    count = count * 2; /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 *
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。

也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。

由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

3、线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。

因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{   /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

4、平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{   for (j = 0; j < n; j++)    {       /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */   }
}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。

所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。i

int i, j;
for (i = 0; i < m; i++)
{    for (j = 0; j < n; j++)    {       /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */    }
}

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{   for (j = i; j < n; j++)  /* 注意j = i 而不是0 */   {       /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */  }
}

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。

所以总的执行次数为：用我们推导大O阶的方法，

第一条，没有加法常数不予考虑；

第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2；

第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

5、计算方法

1．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

6、算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，

算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，

其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

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