DFT离散傅里叶变换【针对工科生，基础版本】

傅里叶分析告诉咱们任何周期信号都可以被表示成一组正弦(这里正弦包括余弦)函数的线性组合。

而离散傅里叶变换是想告诉咱们这些线性组合的各个分量的频率、幅值、还有相位。

那它是如何做到的呢？

首先我对两个周期的余弦函数进行40次采样，任务是我怎么知道这40次采样里面余弦函数振动了多少次呢？

对人类而言我们可以直接数出来有俩周期
对计算机而言只能通过暴力破解

那么计算机是怎么暴力破解的呢？

选四十个基信号，对于0 periods in 40 samples这里图画错了，应该是0~30而不是1~40。

比如 x periods in 40 samples，意思是对这 x peirods 信号就行40次采样的意思，理解这句话就方便理解下面的解释了

可能大家会对x[n]=cos(2π.39n/40)这个公式的图疑惑，以下为解释(欢迎指正):

cos(2PI-x) = cos(x) 所以图像相同
图像一样，可以理解为实际上如果连续的话，是密密麻麻的震动，但是因为你是定时间采样，所以采样点跟上面的看起来一样
相当于一个周期采样一个点，连起来放到一张图里就这样了，因为取了39个采样，每个采样的点拼在一起正好是cos

好现在我们得到这40个基信号(用matlab很好生成) ，然后我要做什么呢？图中红字所表示

相关函数Correlation(x,y)可以是向量(序列)的内积还可以是卷积等等(不错的值得学习调研的地方)

就两个序列X=[x1,...,xn]与Y=[y1,...,yn]的x1y1+...+xnyn这个和越高，代表相关性越高，这是相关函数最简单的一种

然后我们original signal与这40个Basic signals都去做一下这个相关程度的比较，我们来详细看一下这个比较过程，我们用X数组来储存相关值

在这个例子中计算出来发现X[2]=X[38]=20，其他基信号与原信号的内积为0，然后我们再可视化一下这个结果，可能我们知道X是什么意思了，但是还是不知道X代表那个频率，不着急，咱们继续往下看

这里咱们用把公式Generalize一下得到General notation，DFT Formula的指数看着有点复杂咱们用欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta + isin\theta$ 展开表达出来，这里General notation与DFT Formula的实数项是一致的，那为什么我们需要复数项呢？

如果原信号只与余弦基做比较，会丢失相位信息，举个栗子，正弦函数图像相位左加右减，我们把原信号左移π/3，用刚才的方法重新计算一遍X数组，X[2]与X[38]依然是最大的但是变成了10，其他值依然为零，再把这个图可视化一下，峰值的位置还是一样的，大概趋势是差不多的，如果我们把原信号的只做幅值减半，不做相位偏移通过刚才一样与40个基信号的计算也能得到同样的X数组，所以我们通过X数组反推回去，不知道原信号是有了相位偏移还是幅值减半，换句话说我们是损失了信息。

怎么解决呢？我们找了一组正弦基，与他们也比较一下，原信号与40个余弦基比较产生了 $X_{cos}$ 数组，与40个正弦基比较也产生了 $X_{sin}$ 数组

$X_{sin}[38]$ 应该为 $-10\sqrt{3}$ ，相应后面的 $X[38]$ 也要改成 $10-10\sqrt{3}$

这个时候我再把X写成一个复数的话 $X=Xcos+jXsin$ ,复数的模刚好是20，相位刚好是 $\frac{\pi }{3}$ ，这样就可以重建我们的原信号

虽然我们知道 $X_{cos}$ 与 $X_{sin}$ 是原信号与Cos、Sin基信号相关程度的结果储存在数组，但为什么两个相关程度这么一算就得到原信号的模和相位呢？背后的数学其实很深，有泛函分析，对工科生而言感兴趣可以继续往下研究。

我们一直在讨论的结果都是一个一个的离散点，还不知道这些离散点的频率呢

其实很简单，刚才是用40个采样点对两个周期进行采集，没有提到采样频率 $f_{s}$ ,只要我给一个 $f_{s}$

这个X所对应的频率立刻就可以算出来，在40个采样内，振动了K个周期的那个信号的频率我就知道了，举个栗子， $f_{s}=100Hz$ ,那么40个采样就是 $40\cdot \frac{1}{100}=0.4s$ ,前提我知道我采集的是两个周期的信号，那么该信号周期 $T=0.2s$ ，那么该信号频率 $f=5Hz$

傅里叶变换的思想是，刚原信号不是和40个基信号做了比较吗，那么我跟那个基信号长的最像，那么我那个频率的分量就越大，比如现在我想知道X[k]代表的频率多少

采样时长：N/fs,在这个时间长度内经过了k个周期，则一个周期的时间为：N/(kfs),求倒数就是频率了

这样每一个X对应的频率都知道了

回头看看我们一直说的那个例子，通过以上流程得到我们的信号是由频率为200Hz与3800Hz的且幅值都为20的余弦信号构成，但其实3800Hz是一个不准确的值，因为我们知道在40个采样内，它振动了38个周期的话，我们只采样40次是损失了信息的，所以3800Hz这个基信号是不准确的，由香农采样定理可知(一个周期至少采样两次)，所以说，如果在40个采样内振动20个周期，刚好是采样两次( $fs=2fmax$ )，40个采样内振动超过20个周期的话，那么我每个周期就不足两次了，这样超过X[20]的采集到的值都是不对的，所以说，通常来说人们只关心实信号前面的一般，图中土色表示

香农采样定理，又称奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。

为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该大于等于模拟信号频谱中最高频率的2倍。　 $fs\geqslant 2fmax$

参考资料

离散傅里叶变换零基础入门-中文1（针对工科生，无需连续傅立叶变换知识）_哔哩哔哩_bilibili

工科生以最快的速度理解离散傅立叶变换（DFT）_哔哩哔哩_bilibili

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