线性动态规划以及最长匹配长度

这里是Joe学习的笔记，如果能帮助到你，那我受宠若惊！

首先把题目链接发一下：P1439 【模板】最长公共子序列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这里参考@皎月半洒花大佬的详细讲解！

最长上升子序列：LIS

n^2做法：

for(int i=1;i<=n;i++){dp[i]=1;//初始化 for(int j=1;j<i;j++)//枚举i之前的每一个j if(data[j]<data[i] && dp[i]<dp[j]+1)//用if判断是否可以拼凑成上升子序列，//并且判断当前状态是否优于之前枚举//过的所有状态,如果是，则↓ dp[i]=dp[j]+1;//更新最优状态 }

nlogn做法：

int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];f[i]=0x7fffffff;//这里的f[i]表示上升序列为i的上升子序列的最小末尾数值
//如果长度为i的子序列结尾元素越小，后面的元素更放标加入这条假设可能为结果的上升子序列中。//初始值要设为INF/*原因很简单，每遇到一个新的元素时，就跟已经记录的f数组当前所记录的最长上升子序列的末尾元素相比较：如果小于此元素，那么就不断向前找，直到找到一个刚好比它大的元素，替换；反之如果大于，么填到末尾元素的下一个q，INF就是为了方便向后替换啊！*/ }f[1]=a[1];int len=1;//通过记录f数组的有效位数，求得个数 /*因为上文中所提到我们有可能要不断向前寻找，所以可以采用二分查找的策略，这便是将时间复杂度降成nlogn级别的关键因素。*/ for(int i=2;i<=n;i++){int l=0,r=len,mid;if(a[i]>f[len])f[++len]=a[i];//如果刚好大于末尾，暂时向后顺次填充 else {while(l<r){   mid=(l+r)/2;if(f[mid]>a[i])r=mid;//如果仍然小于之前所记录的最小末尾，那么不断//向前寻找(因为是最长上升子序列，所以f数组必//然满足单调) else l=mid+1; }f[l]=min(a[i],f[l]);//更新最小末尾 }}cout<<len;

两个序列中的最长公共子序列LCS

n^2：

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1001][1001],a1[2001],a2[2001],n,m;
int main()
{   //这里的dp[i][j]表示第一个串的前i位，第二个串的前j位的LCS的长度//dp[i][j]表示两个串从头开始，直到第一个串的第i位 //和第二个串的第j位最多有多少个公共子元素 cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a1[i]);for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a2[i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);if(a1[i]==a2[j])dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);//因为更新，所以++； }cout<<dp[n][m];
}

因为两个序列都是1~n的全排列，那么两个序列元素互异且相同，也就是说只是位置不同罢了，那么我们通过一个map数组将A序列的数字在B序列中的位置表示出来——

因为最长公共子序列是按位向后比对的，所以a序列每个元素在b序列中的位置如果递增，就说明b中的这个数在a中的这个数整体位置偏后，可以考虑纳入LCS——那么就可以转变成nlogn求用来记录新的位置的map数组中的LIS。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[100001],b[100001],map[100001],f[100001];
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);map[a[i]]=i;}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);f[i]=0x7fffffff;}int len=0;f[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){int l=0,r=len,mid;if(map[b[i]]>f[len])f[++len]=map[b[i]];else {while(l<r){ mid=(l+r)/2;if(f[mid]>map[b[i]])r=mid;else l=mid+1; }f[l]=min(map[b[i]],f[l]);}}cout<<len;return 0
}

然后是@heey大佬的解释

首先看到这道题很容易一下就想到dp（n^2），但是看看数据范围，放弃dp，再看一看它题目给出的，这两串数都是1到n的全排列，说白了就上下两个串中的元素都是相同的，只有顺序不同而已，那么知道这个，我们又怎么来解决这道题呢？

我们可以以第一个串为标准，用第二个串来匹配第一个串，看能匹配多少，所以，其实第一个串的每个数字其实影响不大，只有知道它对应了第二串的哪个数字就好了，那么我们为什么不把他给的串重新定义一下？

比如他的样例：3 2 1 4 5 我们把他变成 1 2 3 4 5 用一个数组记录一下每个数字变成了什么，相当于离散化了一下3-1；2-2；1-3；4-4；5-5；

现在我们的第二串1 2 3 4 5 按我们离散化的表示：3 2 1 4 5

可能有些人已经懂了，我们把第一个串离散化后的数组是满足上升，反过来，满足上升的也就是满足原串的排列顺序的，（如果你不懂的话可以多看几遍这个例子）O(∩_∩)O~

好了，现在的问题就变成了求一个最长不下降序列！好了！解决完成！

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