NIM博弈：

题目：

代码：

反NIM博弈：

题目：

代码:

公平组合游戏ICG：

有向图游戏：

Mex运算：

SG函数：

有向图游戏的和：

定理：

题目：

代码:

参考材料：

NIM博弈：

内容：给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。

定理：NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0

证明：

若面临的局面是所有物品被取光，这时候肯定是必败局面(因为意味着对手去到了最后一件物品)。此时显然A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0。

对于任意局面A1 ^ A2 ^ … ^ An = x != 0。x的二进制表示中最高位是k位。那么必定存在一个Ai的二进制第k位不为0。并且Ai^x<Ai(因为xor后Ai的第k位从1->0,后面无论增减注定Ai变小)

这时候我们就从Ai中取走Ai-x^Ai即可，使Ai变为Ai^x,这时候A1 ^ A2 ^ … ^ An^x = x^x = 0。

这样我们就可以时刻保持A1 ^ A2 ^ … ^ An = 0。一直到所有物品为零。

证毕。

题目：

甲，乙两个人玩 Nim 取石子游戏。

Nim 游戏的规则是这样的：地上有 nn 堆石子（每堆石子数量小于 10^4 ），
每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。
每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，
且告诉你这 n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6+50;int main(){int t;cin >> t;while(t--){int n;scanf("%d",&n);int ans = 0;int x;for(int i = 0;i < n;i++){scanf("%d",&x);ans^=x;}if(ans == 0)  puts("No");else puts("Yes");} return 0;
}

反NIM博弈：

与NIM博弈相对，相对的地方是取到最后一个石子的人输。

先手必胜定理：

一：各堆物品数目异或结果不为零，且至少有一堆物品数目大于1

二：各堆物品数目异或结果为零，且所有堆物品数目均为1；

证明：

S表示异或和不为0，T表示异或和为0。充裕堆：物品数大于等于2。

S0、S1、S2分别表示异或和不为零且充裕堆为0、1、大于等于2。T0、T2表示异或和为0且充裕堆为0 、大于等于2。

首先显然S0必输、T0必胜。

对于S1，可以转化为S0。(若为奇数堆，拿掉充裕堆所有即可；若为偶数堆，拿掉充裕堆只剩下一个)。

对于T2，只可能转化为S1，或者不变。这样T2必败。

S2可以转化为T2。所以S2必胜。

所以必胜局面：T0、S1、S2。即异或和为零且所有堆物品数全为1或者异或和不为0且至少一堆物品数大于1。

题目：

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取
的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一
粒石子的人算输。小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明
多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下
谁将获得游戏的胜利。

代码:

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6+50;int main(){int t;cin >> t;while(t--){int n;scanf("%d",&n);int x,ans = 0,cnt = 0;for(int i = 0;i < n;i++){scanf("%d",&x);if(x > 1)    cnt++;ans^=x;}//先手获胜：xor和为零且全部石堆石头个数都为1  或者  xor和不会零且至少有一个石堆大于石头个数1 //也即T0、S1、S2; if((ans&&cnt)||(!ans&&!cnt))    puts("John");else puts("Brother");} return 0;
}

公平组合游戏ICG：

若一个游戏满足：

由两名玩家交替行动；

在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；

不能行动的玩家判负；

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。

有向图游戏：

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。

任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算：

设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即： mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S

解释：加入S={1，2，4} 则mex{S} = 0;若S={0，1，3}，则mex(S) = 2;也就是对于一个全是非负整数的集合S，它的mex值就是不包含在S中的最小非负整数。

留意的是，对于S={}，mex(S) = 0;

SG函数：

在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，

即： SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)}) 特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。

有向图游戏的和：

设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。

G被称为有向图游戏G1, G2, …,Gm的和。有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即： SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ …^ SG(Gm)

定理：

有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。

有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。

部分理解：

若之后无路可走，S = {};此时mex(S) = 0;所以肯定是必败的。

若一个节点的某个后继节点(即局面)SG值为0，那么mex(S) > 0 <=> 若一个局面的后继局面存在必败局面，则当前局面为必胜局面。

// 存在必败局面，那么我们就把这个局面推向必败局面给对手即可。

若一个结点的后继节点全部大于零，那么mex(S) = 0 <=> 若一个局面的后继局面全部是必胜局面，则当前局面为必败局面。

//都是必胜局面，那么我们无论怎么做都把必胜局面给了对手。

题目：

Urej 喜欢玩各种类型的沉闷游戏。他通常要求别人和他一起玩。
他说，玩这些游戏可以展示他非凡的智慧。
最近，乌雷杰对一款新游戏非常感兴趣，埃里夫·内佐夫成为受害者。
为了摆脱玩这种沉闷游戏的痛苦，埃里夫·内佐夫请求你的帮助。
游戏使用由 W*H 网格组成的矩形纸。两个玩家依次将纸张切成两块矩形部分。
在每一个回合中，玩家都可以水平或垂直切割，保持每个网格不间断。
N 转后，纸张将分解成 N+1 件，在以后的回合中，玩家可以选择任何要切割的纸张。
如果一个玩家用一个网格剪掉一张纸，他就赢了比赛。
如果这两个人都很清楚，你应该写一个问题，告诉一个谁先削减可以赢与否。

必败局面，也就是有向图的终点：不存在大于等于4的边。这时候无论怎么捡都会出现1*X或者X*1的局面，这时候SG值肯定为0。利用递归即可。(记忆化优化)

每个局面下面的局面种类情况无非就是顺着所有的横边竖边剪掉。利用有向图游戏的和异或起来。

代码:

(参考https://blog.csdn.net/acm_zl/article/details/9447069)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6+50;
int sg[255][255];
int get_sg(int n,int m){if(sg[n][m] != -1) return sg[n][m];int vis[800] = {0};//mex(S) 1 为S集合内的 0为S集合外的 for(int i = 2;i <= n-i;i++)        vis[get_sg(i,m)^get_sg(n-i,m)] = 1;for(int i = 2;i <= m-i;i++)      vis[get_sg(n,i)^get_sg(n,m-i)] = 1;//这里控制了每条边只要存在比4小的 肯定必败 也就是最后返回0; for(int i = 0;;i++)if(vis[i] == 0)       return sg[n][m] = i;// sg[n][m]为mex(S);
}
int main(){int n,m;memset(sg,-1,sizeof(sg));while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){if(get_sg(n,m)){puts("WIN");}else puts("LOSE");}return 0;
}

参考材料：

《算法竞赛进阶指南》李煜东

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