2020年全国I卷理科数学选择题第3题解析

每年高考必定成为热门话题，而近年来数学科喜在巧妙题目上加上背景更是炒热热度的催化剂。笔者作为2019年应届生对此也是深有体会，今天便在此记录2020这一特殊之年的高考数学热搜题解析。

（2020年普通高等学校招生全国统一考试I卷，理科数学，第3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A. 5−14\displaystyle\frac{\sqrt5-1}{4}45−1

B. 5−12\displaystyle\frac{\sqrt5-1}{2}25−1

C. 5+14\displaystyle\frac{\sqrt5+1}{4}45+1

D. 5+12\displaystyle\frac{\sqrt5+1}{2}25+1

解：先在草稿纸上画出一个四棱锥草图。
题目中涉及到四棱锥及其侧面三角形两者的高，也一并画出。经观察立即可得四棱锥高 hhh 与侧面三角形高 HHH 的关系：

h2+a2=H2h^2+a^2=H^2 h2+a2=H2

又由正四棱锥的特性可猜测底面正方形边长为 2a2a2a，则由题目中的面积关系得

h2=aHh^2=aH h2=aH

现要求 H2a\displaystyle\frac{H}{2a}2aH 的值，将上述两式后者代入前者，并在两侧同除 a2a^2a2 整理得

(Ha)2−Ha−1=0\left(\frac{H}{a}\right)^2-\frac{H}{a}-1=0 (aH)2−aH−1=0

解得 Ha=1±52\displaystyle\frac{H}{a}=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}aH=21±5，又由于 Ha>0\displaystyle\frac{H}{a}>0aH>0，故 Ha=1+52\displaystyle\frac{H}{a}=\frac{1+\sqrt 5}{2}aH=21+5，则 H2a=1+54\displaystyle\frac{H}{2a}=\frac{1+\sqrt 5}{4}2aH=41+5，答案选 C。

注：必须注意分母！如若解得 Ha\displaystyle\frac{H}{a}aH 而一时高兴，忘记答案还要在此基础上除以 222，则在通往正确答案的最后一步中干扰项D的陷阱，非常可惜。

注：若未考虑到 Ha>0\displaystyle\frac{H}{a}>0aH>0 的隐含条件导致无法排除正负，也可将两者直接代入。选项中仅分母和 111 的符号不同，5\sqrt 55 的符号没有区别，而两个备选项恰好是异于 5\sqrt 55 的符号，因此也可选出答案。

试题不难，考的就是一个心态。在笔者看来，这道题远比 2019 年的维纳斯常规多了。之所以说它考心态，原因是此题需要考生有一定的分析、计算能力，而对于理科数学第 3 题的位置，本题计算步骤明显偏多，一旦考生在其中某一步出错导致解题受阻，很容易就会紧张，从而对考生心理造成打击。另外，读者可能发现本题还有两个干扰项没有起作用，实际上它们是留给另外一种解题方法的。这种解题方法相较于上述一种异常繁琐，如果考生选用此种解题方法，不但浪费大量时间，解题率低，而且还会受到另外两个干扰项的干扰。下面对这种做法做一个分析。

解法二：先在草稿纸上画出一个四棱锥草图，同时画出两条高。

设正四棱锥棱长为 bbb，则可得

h2+a2=b2h^2+a^2=b^2 h2+a2=b2

且底面正方形边长为 2a\sqrt 2a2a，则侧面三角形的高为 b2−a22\displaystyle\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}b2−2a2，又由面积关系可得

h2=a2b2−a22h^2=\frac{a\sqrt{2b^2-a^2}}{2} h2=2a2b2−a2

现要求 b2−a222a=b22a2−14\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}}{\sqrt2 a}=\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{1}{4}}2ab2−2a2=2a2b2−41 的值，将上述等式后者代入前者，两边同除 a2a^2a2 整理得

4(b2a2)2−10b2a2+5=04\left(\frac{b^2}{a^2}\right)^2-10\frac{b^2}{a^2}+5=0 4(a2b2)2−10a2b2+5=0

解得 b2a2=5±54\displaystyle\frac{b^2}{a^2}=\frac{5\pm\sqrt 5}{4}a2b2=45±5，又由等式 1 及 h2>0h^2>0h2>0 可得 b2a2>1\displaystyle\frac{b^2}{a^2}>1a2b2>1，则 b2a2=5+54\displaystyle\frac{b^2}{a^2}=\frac{5+\sqrt 5}{4}a2b2=45+5，故 b22a2−14=3+58=6+2516=5+14\displaystyle\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt 5}{8}}=\sqrt{\frac{6+2\sqrt 5}{16}}=\frac{\sqrt 5+1}{4}2a2b2−41=83+5=166+25=45+1，答案选 C。

注：若不会处理答案中的根号，也可将选项平方后进行比较。

相比于第一种解题方法，这种解题方法明显更为复杂，且有两个地方阻碍考生解题。一是对 b2a2\displaystyle\frac{b^2}{a^2}a2b2 两个备选项的排除，不同于解法一明显的正负排除，该题是利用 b>ab>ab>a 进而 b2a2>1\displaystyle\frac{b^2}{a^2}>1a2b2>1 进行排除的，条件隐含得比较深，而且无法像解法一一样直接代入进行排除，读者可发现选项 A 正是干扰项；二是得出答案后对根号的处理，虽然不难，但做到这里，考生可能已花费大量时间并对在第 3 题花费如此大量的时间而产生自我怀疑，从而能否思考出处理方法也成为了未知数。一旦考生无法处理，认为自己做错，将极大地影响心态。因此，笔者认为，此题的确不难，考的就是一个心态，如果将此题放在更后的位置，可能会有更多的人能正确解答出这道题。

另外，笔者认为，本题最关键的还是找出正四棱锥的高与侧面三角形的高存在直接的直角三角形关系，本题巧妙之处就在于此直角三角形的另外一边边长正是底面正方形边长的一半，这为解题带来了极大的便利。一般来说，在处理四棱锥，尤其是正四棱锥的面积问题时，利用正四棱锥优良的几何特性，寻找大量边与边之间的关系是常用的做法，此处给出的第二种解法更符合这里所说的做法。然而，在本题中最好的做法并不是这种，而是直接利用两条高建立等式。虽然利用这两条高所构成的直角三角形的第三边进行解题在类似题目中并不常见，但并非无法想到，对本题来说，只要考生能在开始推理之前，在四棱锥的草图上画出两条高，想找到这样的关系并不难。从某种意义来说，此题也在一定程度上考察了某些考生的思维惯性。

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