NOI 2013 快餐店

NOI 线段树

题目传送点

说白了，就是给个N个点N条边的图，然后求一个点（不一定是给的那N个点），到所有给定的点的路程最大值最小

=≡Σ((( つ•̀ω•́)つ我是蒟蒻，想了好久的二分和三分（最大值最小嘛）

题解

[朴素的想法]

我们可以先假设：如果给的是树而不是图呢？
树就很简单，O(n)O(n)求出树的直径(不会点这里)，因为要求最大值最小嘛，非常显然，直径的一半就是答案。
现在呢，给你一个图，怎么办，想这种树好做图不好做的可以把图尽量向树的方向靠拢，现在N个点，N条边，也就是说是一棵外向树（一个环，一些环的定点连着很多子树），那么我们就可以求出这个环（假设是KK条边的环），然后枚举这个环上哪一条边不走，然后再做KK次找树的直径即可。
复杂度为：O(N2)O(N^{2})，预计得分60

[满分算法]

当然要先把环求出来（如果直接求图的“直径”会出问题，自己可以想个反例），依然要枚举那一条边不选，现在的问题就是怎样快速处理
因为是个环，方便写程序有时也降低复杂度，我们把环拆开（像沙子合并那道DP一样，乘个2倍，然后拉开），那么现在就是一条链，链上一些点向下连了一棵子树（自己脑补吧ㄟ(▔,▔)ㄏ，ubuntu下画个简图真是麻烦）
那么我们假设链上KK个点，分别为1,2,3……1, 2, 3……，然后我们预处理出从链上这个点到子树的最长的路径记为DiD_{i}，链上每两个点之间的距离为disijdis_{ij}，根据两点间的距离求出每个点到第一个点的距离前缀和记做SiS_{i}，那么第ii个点的子树到第jj的点的子树的最大距离为Sj−Sj+Di+DjS_{j} - S_{j} + D_{i} + D_{j}，我们再移动几项：Di−Si+Dj+Sj D_{i} - S_{i}+ D_{j}+ S_{j} ,所以用线段树维护一个[L, R]中Di−Si+Dj+SjD_{i} - S_{i} + D_{j} + S{j} 的最大值，用O(log2N)O(log_{2}N)的时间得到答案。
那么我们NN次枚举，ANS=min(Query(i,i+K−1))(i∈[1,K])ANS = min(Query(i, i + K - 1)) (i \in [1, K])。
但是这还没有完，如果最长路并没有经过环呢（我们在用线段树维护的时候，维护的最小单元不是一个点，而是区间[i,i+1][i, i + 1]），所以，我们再和链上KK个点的子树中的直径求minmin即可（想想为什么不是maxmax）。
复杂度：O(Nlog2N)O(Nlog_{2}N)，预计得分100

讲完辣 (〃＾∇＾)ぇ∧∧∧っ

最后附上代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;typedef long long lld;const int maxn = 1e5 + 13, maxm = maxn * 2;
const lld INF = 0x7fffffffffffffffll / 2ll;
int n, pos, head[maxm], used[maxn];
int c[maxn], size;
lld dis[maxm], s[maxm], d[maxm];
int l[maxm * 2], r[maxm * 2], rs[maxm * 2], ls[maxm * 2], root;
lld v1[maxm * 2], v2[maxm * 2], v[maxm * 2], maxSum;
queue<int>Q;
struct node {int v, w, last;
}line[maxn * 2];//超级读数
void read(int &a) {a = 0;bool judge = false;char c;while((c = getchar()) != EOF) {if(c == ' ' || c == '\n') {if(!judge) continue;return;}a = a * 10 + (c - '0');judge = true;}
}//链表存图
void my_read(int a, int b, int c) {line[++pos] = (node) {b, c, head[a]};head[a] = pos;
}//深搜找环
bool circleDfs(int pre, int u) {used[u] = true;for(int i = head[u]; i; i = line[i].last) {const int v = line[i].v;if(v == pre) continue;if(used[v]) {c[++size] = u;//s点保存前缀和s[size] = (lld)line[i].w;used[v] = false;return true;}bool judge = circleDfs(u, v);if(judge) {c[++size] = u;s[size] = s[size - 1] + (lld)line[i].w;if(used[u]) return true;return false;}}return false;
}void initForCircle() {circleDfs(1, 1);memset(used, 0, sizeof(used));for(int i = 1; i <= size; i++) used[c[i]] = true;
}//对链上每个点到树上求最长路径
lld getFarthestDis(int pre, int u) {lld far = 0ll;for(int i = head[u]; i; i = line[i].last) {const int v = line[i].v;if(v == pre || used[v]) continue;far = max(far, getFarthestDis(u, v) + (lld)line[i].w);}return far;
}//线段树标准模板
void builtTree(int &i, int A, int B) {i = ++pos;l[i] = A; r[i] = B;////最小单元应该是一个长度为1的区间if(A + 1 == B) {v1[i] = d[A] - s[A];v2[i] = d[B] + s[B];v[i] =  v1[i] + v2[i];return;}int mid = (A + B) >> 1;builtTree(ls[i], A, mid);builtTree(rs[i], mid, B);int LS = ls[i], RS = rs[i];v1[i] = max(v1[LS], v1[RS]);v2[i] = max(v2[LS], v2[RS]);v[i] = max(v[LS], v[RS]);v[i] = max(v[i], v1[LS] + v2[RS]);
}lld Query(int i, int A, int B) {int L = l[i], R = r[i];if(B <= L || A >= R) return 0;if(A <= L && R <= B) {lld temp;temp = max(v[i], maxSum + v2[i]);maxSum = max(v1[i], maxSum);return temp;}return max(Query(rs[i], A, B), Query(ls[i], A, B));
}int tot, temp[maxn];//找直径
int findDiameter(int pre, int u) {temp[++tot] = u;for(int i = head[u]; i; i = line[i].last) {const int v = line[i].v;if(v == pre || used[v]) continue;dis[v] = dis[u] + (lld)line[i].w;findDiameter(u, v);}
}//求每棵子树的直径
lld findLongestRoad(int x) {used[x] = false;int A; lld max1;tot = 0;dis[x] = 0;findDiameter(x, x);A = 0; max1 = 0ll;for(int i = 1; i <= tot; i++)if(max1 < dis[temp[i]]) max1 = dis[temp[i]], A = temp[i];for(int i = 1; i <= tot; i++) dis[temp[i]] = INF;tot = 0;dis[A] = 0;findDiameter(A, A);A = 0; max1 = 0ll;for(int i = 1; i <= tot; i++)if(max1 < dis[temp[i]]) max1 = dis[temp[i]];used[x] = true;return max1;
}int main() {freopen("foodshop.in", "r", stdin);
//  freopen("test.in", "w", stdout);scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++) {int a, b, c;read(a); read(b); read(c);my_read(a, b, c);my_read(b, a, c);}initForCircle();for(int i = 1; i <= size; i++) dis[c[i]] = getFarthestDis(c[i], c[i]);for(int i = 1; i <= size; i++) {d[i] = dis[c[i]]; d[i + size] = d[i];s[i + size] = s[size] + s[i];}pos = 0;builtTree(root, 1, size * 2);lld min1 = INF;for(int i = 1; i <= size; i++) {maxSum = -INF;lld temp = Query(root, i, i + size - 1);min1 = min(min1, temp);}for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;for(int i = 1; i <= size; i++) min1 = max(min1, findLongestRoad(c[i]));printf("%.1lf\n", (double)min1 / 2.0);return 0;
}