随机算法(Randomized Algorithms)

随机算法可分为两类：

第一类被称为拉斯维加斯算法。它由那些总是给出正确答案或根本不给出答案的随机算法组成。
第二类被称为蒙特卡罗算法。它总是给出一个答案，但有时可能会产生一个不正确的答案。然而，通过在每次运行中使用独立的随机选择重复运行该算法，产生错误答案的概率可以变得任意小。

一、随机选择(Randomized Selection)

利用随机算法改进之前所提出的寻找第k小元素的算法。

算法伪代码如下：

Input: 由n个元素组成的数组A[1…n]和整数k
Output: 第k小的元素
rselect(A,1,n,k)def rselect(A,low,high,k):v = random(low,high)x = A[v]将A[low...high]分成三部分：A1 = {a|a<x}A2 = {a|a=x}A3 = {a|a>x}if |A1| > k:select(A1, 1, |A1|, k)else if |A1| < k and |A1|+|A2| >= k:return xelse if |A1| < k and |A1|+|A2| < k: select(A3, 1, |A3|, k-|A1|-|A2|)

由此可见该算法为拉斯维加斯算法。

算法时间复杂度分析：

最坏情况：当每次循环只能排除一个值且k等于n时，算法为最坏情况。将A[low…high]中的元素分为三类时需要元素比较的次数即为A数组中元素的个数，故最坏情况时的元素比较次数为n+(n-1)+…+1=n*(n-1)/2，故最坏时间复杂度为O(N^2)。

平均情况：元素比较次数小于4n，故算法平均时间复杂度为O(N)。

二、测试字符串相等性(Testing String Equality)

假设双方A和B可以通过通信信道进行通信，我们将假定该信道非常可靠。A有一个很长的字符串x，B有一个很长的字符串y，他们想确定x=y。显然，A可以将x发送给B，B可以立即测试x=y。但考虑到使用渠道的成本，这种方法将极其昂贵。另一种选择是A从x派生出一个更短的字符串，可以作为x的“指纹”并将其发送给B，然后B将使用相同的推导来获得y的指纹，然后比较这两个指纹。如果它们相等，那么B将假定x=y；否则他会得出结论x不等于y然后将测试结果通知A。

对于字符串w，假设I(w)是由位字符串w表示的整数。指纹识别的一种方法是选择素数p，然后使用指纹函数：

如果p不是太大，则指纹Ip(x)可以作为短字符串发送。如果Ip(x)不等于Ip(y)，显然x不等于y，反之不正确。也就是说，如果Ip(x)=Ip(y)，那么x=y不一定是这种情况。我们将这种现象称为错误匹配（false match）。

通常，如果x不等于y但Ip(x)=Ip(y)时，p整除I(x)-I(y)。

因此，每次检查两个字符串的相等性时，我们都随机选择p，而不是事先给定p。此外，随机选择p允许重新发送另一个指纹，从而在x＝y的情况下增加置信度。

算法步骤如下：

1、A从小于M的素数集中随机选择p。

2、A向B发送p和Ip（x）。

3、B检查Ip(x)=Ip(y)，并确认两个字符串x和y的相等或不相等。

显然该算法为蒙特卡洛算法。

该方法的缺点是，对于固定p，存在某些字符串x和y对，该方法将始终失败。那么，设n是x和y的二进制字符串的位数，p是小于2n22n^22n2的素数。错误匹配的概率为1/n。当我们重复执行这个算法k次，每次随机选择一个素数，则错误匹配的概论降低至**(1/n)^k**。

推导过程如下：

三、模式匹配(Pattern Matching)

给定一个文本字符串X=x1,x2,…,xn和一个模式Y=y1,y2,…,ym，其中m不等于n，确定图案是否显示在文本中。在不丧失一般性的情况下，我们假设文本字母表是{0, 1}。

解决这个问题最简单的方法就是在整个文本中移动模式，并在每个位置将模式与长度为m的文本部分进行比较。这种蛮力方法在最坏的情况下会导致O（mn）运行时间。

该算法遵循在文本X上滑动模式Y的相同蛮力算法，但不是将模式与每个块X(j)=xj,xj+1,…,xj+m-1进行比较，而是将模式的指纹Ip(Y)与文本块的指纹Ip(X(j))进行比较。

当我们从一个文本块转移到文本块时，新块X(j+1)的指纹可以很容易地从X(j)的指纹计算出来：

上式第一部分为所有数字向前移动一位，第二部分为去掉最高位，第三部分为加上最低位。文本块的长度为m，注意是二进制！

如果让Wp=2^m（mod p），那么我们就有了递归：

算法伪代码如下：

Input: 长度为n的文本X和长度为m的模式Y
Output: 如果Y出现在X中，则Y在X中的第一个位置；否则为0
从小于M的素数集中随机选择p
j=1
计算Wp=2^m (mod p)、Ip(Y)和Ip(Xj)
while j <= n-m+1:if Ip(Y) == Ip(Xj):return jelse:使用前面的公式计算Ip(Xj+1)j++
return 0

显然该算法为蒙特卡罗算法，

计算每一个Wp、Ip(Y)、Ip(X(1))的时间复杂度为O(m)；由X(j)计算一次新块X(j+1)的指纹时间复杂度为O(1)，故对于长度为n的文本指纹计算X(j+1)总的时间复杂度为O(n)；故该算法的运行时间为O(n+m)。

设p是一个小于2(mn)^2的素数。错误匹配的概率为1/n。

推导过程如下：

算法转换为拉斯维加斯算法：

在任何情况下两个指纹Ip(Y)和Ip(X(j))匹配，就会测试这两个字符串是否相等。因此，我们最后给出了一个有效的模式匹配算法，该算法总是给出正确的结果，并且时间复杂度仍然是O(m+n)。

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算法设计技巧与分析（八）：随机算法(Randomized Algorithms)

文章目录

随机算法(Randomized Algorithms)

一、随机选择(Randomized Selection)

二、测试字符串相等性(Testing String Equality)

三、模式匹配(Pattern Matching)

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