第一章 矢量分析

1.0 重点

• 梯度
• 散度
• 旋度
• 亥姆霍兹：知道就行

1.3 标量场的梯度 （用于标量场）

• 梯度定义：数值为方向导数最大值，方向为最大方向导数所指方向

方向导数：

• 标量场中一点MMM沿方向lll方向上场的变化率∂u∂l∣M0=lim⁡Δl→0u(M)−u(M0)Δl\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{M_0} = \lim\limits_{\Delta l \to 0}\frac{u(M)-u(M_0)}{\Delta l}∂l∂u​∣∣∣∣​M0​​=Δl→0lim​Δlu(M)−u(M0​)​
• 方向导数的计算公式 ∂u∂l=∂u∂xcos⁡α+∂u∂ycos⁡β+∂u∂zcos⁡γ\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma∂l∂u​=∂x∂u​cosα+∂y∂u​cosβ+∂z∂u​cosγ

• 表达式gradu=(ex∂∂x+ey∂∂x+ez∂∂x)u=ex∂u∂x+ey∂u∂x+ez∂u∂x=▽ugrad\;u = \left(e_x\frac{\partial}{\partial x} + e_y\frac{\partial}{\partial x} + e_z\frac{\partial}{\partial x}\right)u = e_x\frac{\partial u}{\partial x} + e_y\frac{\partial u}{\partial x} + e_z\frac{\partial u}{\partial x} = \triangledown ugradu=(ex​∂x∂​+ey​∂x∂​+ez​∂x∂​)u=ex​∂x∂u​+ey​∂x∂u​+ez​∂x∂u​=▽u
• 梯度运算基本公式
  {▽C=0▽(Cu)=C▽u▽(u±v)=▽u±▽v▽(uv)=u▽v+v▽u▽f(u)=f′(u)▽u\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown C = 0\\\triangledown(Cu) = C\triangledown u\\\triangledown(u\pm v)=\triangledown u \pm \triangledown v \\\triangledown(uv)=u\triangledown v+v\triangledown u\\\triangledown f(u)=f'(u)\triangledown u \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​▽C=0▽(Cu)=C▽u▽(u±v)=▽u±▽v▽(uv)=u▽v+v▽u▽f(u)=f′(u)▽u​

1.4 矢量场通度与散度（用于矢量场）

• 散度定义：反应场域中每一点的通量特性

通量

• 定义：用于描述矢量场在一定的空间面积内，场的大小或一些性质Ψ=∫SF⋅dS=∫SF⋅endS\varPsi = \int_S F \cdot dS = \int_S F \cdot e_n dSΨ=∫S​F⋅dS=∫S​F⋅en​dS
  若为闭合曲面则为：
  Ψ=∮SF⋅dS=∮SF⋅endS\varPsi = \oint_S F \cdot dS = \oint_S F \cdot e_n dSΨ=∮S​F⋅dS=∮S​F⋅en​dS

• 散度图解:

• 计算式：divF=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z=(ex∂∂x+ey∂∂z+ez∂∂z)⋅(exFx+eyFy+ezFz)=▽⋅Fdiv\;F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \\= \left(e_x\frac{\partial}{\partial x} + e_y\frac{\partial}{\partial z} + e_z\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(e_xF_x + e_yF_y + e_zF_z) = \triangledown \cdot FdivF=∂x∂Fx​​+∂y∂Fy​​+∂z∂Fz​​=(ex​∂x∂​+ey​∂z∂​+ez​∂z∂​)⋅(ex​Fx​+ey​Fy​+ez​Fz​)=▽⋅F

• 散度定理:面积分和体积分的相互转化
  ∫V▽⋅FdV=∮SF⋅dS\int_V \triangledown \cdot F dV = \oint_S F \cdot dS∫V​▽⋅FdV=∮S​F⋅dS
  

• 散度的基本公式
  {▽⋅C⃗=▽⋅C⃗=0(C为常矢量)▽⋅(C⃗f)=C⃗⋅▽f▽⋅(kF⃗)=f▽⋅F⃗(k为常量)▽⋅(fF⃗)=f▽⋅F⃗+F⃗⋅▽f▽⋅(F⃗±G⃗)=▽⋅F⃗±▽⋅G⃗\left\lbrace \begin{array}{lr} \triangledown \cdot \vec{C} = \triangledown \cdot \vec{C} = 0 \;(C为常矢量)\\ \triangledown \cdot (\vec{C}f) = \vec{C}\cdot \triangledown f\\ \triangledown \cdot (k\vec{F}) = f\triangledown \cdot \vec{F}\;(k为常量)\\ \triangledown \cdot (f\vec{F})=f\triangledown \cdot \vec{F}+\vec{F}\cdot\triangledown f\\ \triangledown\cdot(\vec{F}\pm\vec{G}) = \triangledown \cdot \vec{F}\pm\triangledown \cdot \vec{G} \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​▽⋅C=▽⋅C=0(C为常矢量)▽⋅(Cf)=C⋅▽f▽⋅(kF)=f▽⋅F(k为常量)▽⋅(fF)=f▽⋅F+F⋅▽f▽⋅(F±G)=▽⋅F±▽⋅G​

1.5 矢量场环流与旋度（用于矢量场）

• 旋度定义：其方向为MMM点旋度取最大值的面元法线方向，大小等于环流面密度最大值

环流（标量）

• 环流定义：矢量场F\;F\;F沿场中的一条闭合路径C\;C\;C的曲线积分
  定义式:
  Γ=∮CF⋅dl\Gamma = \oint_C F \cdot dlΓ=∮C​F⋅dl
• 漩涡源：环流不等于0，场中则有产生改矢量场的源，其既不发出又不汇聚矢量线
• 环流面密度（标量）：用来分析每一点附近的环流状态（可以类比方向导数）
  dS\;dS\;dS的法线en\;e_n\;en​方向上的环流面密度为：
  rotF=lim⁡ΔS→0∮CF⋅dlΔSrot\; F = \lim\limits_{\Delta S \to 0}\frac{\oint_CF\cdot dl}{\Delta S}rotF=ΔS→0lim​ΔS∮C​F⋅dl​

• 定义式：其中n\;n\;n即为en\;e_n\;en​
  rotF=nlim⁡ΔS→01ΔS∮CF⋅dl∣maxrot \; F = \left.n \; \lim\limits_{\Delta S \to 0}\frac{1}{\Delta S}\oint_CF\cdot dl\;\right|_{max}rotF=nΔS→0lim​ΔS1​∮C​F⋅dl∣∣∣∣​max​

• 旋度计算式：
  rotF=(ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z)×(exFx+eyFy+ezFz)=▽×Frot\;F=\left(e_x\frac{\partial}{\partial x}+e_y\frac{\partial}{\partial y}+e_z\frac{\partial}{\partial z}\right)\times (e_x F_x + e_y F_y + e_z F_z) = \triangledown \times FrotF=(ex​∂x∂​+ey​∂y∂​+ez​∂z∂​)×(ex​Fx​+ey​Fy​+ez​Fz​)=▽×F
  即:
  ∣exeyez∂∂x∂∂y∂∂zFxFxFx∣\left|\begin{array}{cccc} e_x & e_y & e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_x & F_x \end{array}\right| ∣∣∣∣∣∣​ex​∂x∂​Fx​​ey​∂y∂​Fx​​ez​∂z∂​Fx​​∣∣∣∣∣∣​

• 斯托克斯定理（类比高斯定理）：
  ∫S▽×F⋅dS=∮CF⋅dl\int_S \triangledown \times F \cdot dS = \oint_CF\cdot dl∫S​▽×F⋅dS=∮C​F⋅dl
  

• 旋度的有关公式
  {▽×(⃗C)=0▽×(C⃗f)=▽f×C⃗▽(F⃗±G⃗)=f▽×F⃗±▽×G⃗△⋅(F⃗×G⃗)=G⃗⋅▽×F⃗−F⃗⋅▽×G⃗▽⋅(▽×F⃗)≡0矢量场的旋度的散度恒为零▽×(▽u)≡0标量场的旋度恒为零\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\times\vec(C)=0 \\ \triangledown\times(\vec{C}f) = \triangledown f\times\vec{C}\\ \triangledown(\vec{F}\pm\vec{G})=f\triangledown\times\vec{F}\pm \triangledown \times\vec{G}\\ \triangle\cdot(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}\cdot\triangledown \times \vec{F}-\vec{F}\cdot\triangledown\times\vec{G}\\ \triangledown\cdot(\triangledown\times\vec{F})\equiv 0\;\;矢量场的旋度的散度恒为零\\ \triangledown\times(\triangledown u)\equiv 0\;\;标量场的旋度恒为零 \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​▽×(​C)=0▽×(Cf)=▽f×C▽(F±G)=f▽×F±▽×G△⋅(F×G)=G⋅▽×F−F⋅▽×G▽⋅(▽×F)≡0矢量场的旋度的散度恒为零▽×(▽u)≡0标量场的旋度恒为零​

1.8 亥姆霍兹定理

• 亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度散度、旋度、边界条件唯一的确定

  亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可以由其散度及旋度确定

第二章 电磁场的基本规律

2.0 重点

• 电荷守恒定理：内容知道
• 真空中经典场基本规律：电场强度计算
• 磁场计算：利用散度定理
• 媒质：电位移和电场之间的关系、磁场和磁感应强度的关系
• 系数的运用：介电常数、磁道率、电导率
• 感性电动势的计算
• 麦克斯韦方程：积分形式、微分形式
• 电磁场边界条件：知道边界形式、电磁场边界条件的一般形式

2.1 电荷守恒定律(电流连续性方程)

• 电荷守恒定律：

电荷既不能被创造，也不能被消灭,只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。

• 电流连续性方程:
  （流出闭曲面SSS的电流等于体积VVV内单位所减少的电荷）

积分形式∮SJ⃗⋅dS⃗=−dqdt=−d∫VρdVdt微分形式▽⋅J⃗=−∂ρ∂t积分形式\;\;\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=-\frac{dq}{dt} =-\frac{d\int_V\rho dV}{dt}\\ 微分形式\;\;\triangledown \cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}积分形式∮S​J⋅dS=−dtdq​=−dtd∫V​ρdV​微分形式▽⋅J=−∂t∂ρ​

• 恒定电流的连续性方程：
  （恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点）

∂ρ∂t=0⇒▽⋅J⃗∮SJ⃗⋅dS⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\;\;\;\Rightarrow\triangledown\cdot\vec{J}\;\;\;\;\;\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=0∂t∂ρ​=0⇒▽⋅J∮S​J⋅dS=0

2.2 真空中电磁场的基本规律

• 电荷分布
  • 电荷体密度
    q=∫VρV(r⃗)dVq =\int_V\rho_V(\vec{r})dV q=∫V​ρV​(r)dV
  • 电荷面密度
    q=∫SρS(r⃗)dSq=\int_S\rho_S(\vec{r})dS q=∫S​ρS​(r)dS
  • 电荷线密度
    q=∫Cρl(r⃗)dlq=\int_C\rho_l(\vec{r})dl q=∫C​ρl​(r)dl
  • 点电荷在空间中的密度
    q(r⃗)=qδ(r⃗−r′⃗)q(\vec{r})=q\delta(\vec{r}-\vec{r'}) q(r)=qδ(r−r′)
• 电流与电流密度
  • 电流：
    i=lim⁡Δt→0△q△t=dqdti=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\triangle q}{\triangle t}=\frac{dq}{dt} i=Δt→0lim​△t△q​=dtdq​
  • 电流密度：

en{e_n}en​为正电荷流动的方向

J⃗=en⃗lim⁡ΔS→0ΔiΔS=en⃗didS\vec{J}=\vec{e_n}\lim\limits_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e_n}\frac{di}{dS} J=en​​ΔS→0lim​ΔSΔi​=en​​dSdi​

• 库伦定律：
  真空中电荷q1\;q_1\;q1​对电荷q2\;q_2\;q2​的作用力
  F12⃗=eR⃗q1q24πε0R122⃗=q1q2R12⃗4πε0R123⃗\vec{F_{12}}=\vec{e_R}\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\vec{R^2_{12}}}=\frac{q_1q_2\vec{R_{12}}}{4\pi\varepsilon_0\vec{R^3_{12}}} F12​​=eR​​4πε0​R122​​q1​q2​​=4πε0​R123​​q1​q2​R12​​​

• 电场强度

  • 真空中静电荷q\;q\;q激发的电场
    E⃗(r⃗)=qR⃗4πε0R3⃗\vec{E}(\vec{r})=\frac{q\vec{R}}{4\pi\varepsilon_0\vec{R^3}} E(r)=4πε0​R3qR​
  • 体密度为ρ(r⃗)\;\rho(\vec{r})\;ρ(r)的体分布电荷的电场强度
    E⃗(r⃗)=∑i=1ρ(ri′⃗)△ViRi⃗4πε0Ri3=14πε0∫Vρ(r′⃗)R⃗R3dV′\vec{E}(\vec{r})=\sum_{i=1}\frac{\rho(\vec{r'_i})\triangle V_i\vec{R_i}}{4\pi\varepsilon_0 R^3_i}\\ =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho(\vec{r'})\vec{R}}{R^3}dV' E(r)=i=1∑​4πε0​Ri3​ρ(ri′​​)△Vi​Ri​​​=4πε0​1​∫V​R3ρ(r′)R​dV′
  • 面密度为ρS(r⃗)\;\rho_S(\vec{r})\;ρS​(r)的面分布电荷的电场强度
    E⃗(r⃗)=14πε0∫sρS(r′⃗)R⃗R3dS′\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_s\frac{\rho_S(\vec{r'})\vec{R}}{R^3}dS' E(r)=4πε0​1​∫s​R3ρS​(r′)R​dS′
  • 线密度为ρl(r⃗)\;\rho_l(\vec{r})\;ρl​(r)的面分布电荷的电场强度
    E⃗(r⃗)=14πε0∫sρl(r′⃗)R⃗R3dl′\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_s\frac{\rho_l(\vec{r'})\vec{R}}{R^3}dl' E(r)=4πε0​1​∫s​R3ρl​(r′)R​dl′
  • 无限长直导线的电场强度
    Eρ=ρl2πε0ρE_\rho=\frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0\rho} Eρ​=2πε0​ρρl​​
    

• 静电场的散度和旋度

  • 静电场散度与高斯定理

    • 微分形式
      ▽⋅E⃗(r⃗)=ρ(r⃗)ε0\triangledown \cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0} ▽⋅E(r)=ε0​ρ(r)​
    • 积分形式
      ∮SE⃗(r⃗)⋅dS⃗=1ε0∫Vρ(r⃗)dV\oint_S\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV ∮S​E(r)⋅dS=ε0​1​∫V​ρ(r)dV

    高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷

  • 静电场旋度与环路定理

    • 微分形式
      ▽×E⃗(r⃗)=0\triangledown\times\vec{E}(\vec{r})=0 ▽×E(r)=0
    • 积分形式
      ∮CE⃗(r⃗)⋅l⃗=0\oint_C\vec{E}(\vec{r})\cdot\vec{l}=0 ∮C​E(r)⋅l=0

    环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做工与路径无关

• 真空中恒定磁场的基本规律

  • 安培定律
    F12⃗=μ04π∫C2∫C1I2dl2⃗×(I1dl1⃗×R12⃗)R123F12⃗=∮C2I2dl2⃗×(μ04π∮C1I1dl1⃗×R12R123)=∮C2I2dl2⃗×B1⃗(r2⃗)其中：B1⃗(r2⃗)=μ04π∮C1I1dl1⃗×R12⃗R123\vec{F_{12}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l_2}\times(I_1d\vec{l_1}\times\vec{R_{12}})}{R^3_{12}}\\ \vec{F_{12}}=\oint_{C_2}I_2d\vec{l_2}\times(\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\frac{I_1d\vec{l_1}\times{R_{12}}}{R^3_{12}}) \\ =\oint_{C_2}I_2d\vec{l_2}\times\vec{B_1}(\vec{r_2})\\ 其中： \vec{B_1}(\vec{r_2})=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\frac{I_1d\vec{l_1}\times\vec{R_{12}}}{R^3_{12}} F12​​=4πμ0​​∫C2​​∫C1​​R123​I2​dl2​​×(I1​dl1​​×R12​​)​F12​​=∮C2​​I2​dl2​​×(4πμ0​​∮C1​​R123​I1​dl1​​×R12​​)=∮C2​​I2​dl2​​×B1​​(r2​​)其中：B1​​(r2​​)=4πμ0​​∮C1​​R123​I1​dl1​​×R12​​​

• 电磁感性强度

  • 任意回路C\;C\;C
    B⃗(r⃗)=μ04π∮CIdl′⃗×(r⃗−r′⃗)∣r⃗−r′⃗∣3=μ04π∮CIdl′⃗×R⃗R3\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l'}\times(\vec{r}-\vec{r'})}{\left|\vec{r}-\vec{r'}\right|^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l'}\times\vec{R}}{R^3} B(r)=4πμ0​​∮C​∣∣∣​r−r′∣∣∣​3Idl′×(r−r′)​=4πμ0​​∮C​R3Idl′×R​
  • 体电流
    B⃗(r⃗)=μ04π∮VJ⃗(r′⃗)×R⃗R3dV′\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_V\frac{\vec{J}(\vec{r'})\times\vec{R}}{R^3}dV' B(r)=4πμ0​​∮V​R3J(r′)×R​dV′
  • 面电流
    B⃗(r⃗)=μ04π∮SJS⃗(r′⃗)×R⃗R3dS′\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_S\frac{\vec{J_S}(\vec{r'})\times\vec{R}}{R^3}dS' B(r)=4πμ0​​∮S​R3JS​​(r′)×R​dS′
  • 无限长直导线的电场强度
    B⃗=eϕ⃗μ0I2πa\vec{B}=\vec{e_{\phi}}\frac{\mu_0I}{2\pi a} B=eϕ​​2πaμ0​I​

• 恒定磁场的散度和旋度

  • 恒定磁场的散度和磁通连续性原理
    • 微分形式
      ▽⋅B⃗(r⃗)=0\triangledown\cdot\vec{B}(\vec{r})=0 ▽⋅B(r)=0

      磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

    • 积分形式
      ∮SB⃗(r⃗)⋅dS⃗=0\oint_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0 ∮S​B(r)⋅dS=0

      安培环路定理表明： 恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源

2.4 媒质的电磁特性

• 媒介质对电磁场的响应可分为三种：极化、磁化、传导
  分别对应的参数是：介电常数ε\;\varepsilon\;ε、磁道率μ\;\mu\;μ、导电率σ\;\sigma\;σ

2.4.1 极化

• 电介质的极化

  • 定义：在电场作用下，介质中有极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向。
  • 图解：
    

  通常有极分子叫取向极化，无极分子叫位移极化

• 极化强度矢量P⃗(C/m2)\;\vec{P}(C/m^2)\;P(C/m2)

  • 物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和
  • P⃗=χeε0E⃗\vec{P} = \chi_e\varepsilon_0\vec{E}P=χe​ε0​E
    

    χe\chi_e\;χe​:电介质的电极化率

• 电位移矢量（介质中的高斯定理）

  • 定义式：D⃗=εE⃗+P⃗\;\vec{D}=\varepsilon\vec{E}+\vec{P}\;D=εE+P
  • 与电场强度E\;E\;E之间的关系：

    D⃗=ε(1+χe)E⃗=εE⃗=εrε0E⃗\vec{D}=\varepsilon(1+\chi_e)\vec{E}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E} D=ε(1+χe​)E=εE=εr​ε0​E

• 电介质中基本方程
  {▽⋅D⃗=ρ▽×E⃗=0\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\cdot\vec{D}=\rho\\ \triangledown\times\vec{E}=0 \end{array} \right . {▽⋅D=ρ▽×E=0​

2.4.2 磁介质的磁化

• 磁介质的磁化

  • 定义：在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化
  • 图解
    

• 磁化强度矢量M⃗\;\vec{M}\;M

  • 定义：单位体积内的分子磁矩的矢量和
  • 与磁场强度的关系:

    M⃗=χmH⃗B⃗=μ0(1+χm)H⃗=μH⃗\vec{M}=\chi_m\vec{H}\\ \vec{B}=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}=\mu\vec{H} M=χm​HB=μ0​(1+χm​)H=μH

2.4.3 媒质传导的特性

• 定义：存在可以自由移动带电例子的介质称为导电媒质。在外场作用下，导电媒质中将形成定向流动电流。
• 公式：J⃗=σE⃗\;\vec{J}=\sigma\vec{E}J=σE

2.5 电磁感应定律与位移电流

• 电磁感应定律 ➡️ 揭示时变磁场产生电场
• 位移电流 ➡️ 揭示时变电场产生磁场

重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场

• 法拉第电磁感应定律

  • 定义式：∮CEin⃗⋅dl⃗=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗\oint_C\vec{E_{in}}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}∮C​Ein​​⋅dl=−dtd​∫S​B⋅dS

    • 对于空间中任意回路都存在
    • 感应电场为Ein⃗\;\vec{E_{in}}\;Ein​​

    • Ein⃗\vec{E_{in}}\;Ein​​由感应电动势产生：εin=∮CEin⃗⋅dl⃗\;\varepsilon_{in}=\oint_C\vec{E_{in}}\cdot d\vec{l}\;εin​=∮C​Ein​​⋅dl

    • εin\varepsilon_{in}\;εin​由变化的磁通量产生:
      εin=−dΨdt\varepsilon_{in}=-\frac{d\varPsi}{dt}εin​=−dtdΨ​图解：

  • 推广的法拉第电磁感应定律

    • 空间中同时存在由电荷产生的电场Ec⃗\;\vec{E_c}\;Ec​​
      总电场E⃗=Ein⃗+Ec⃗\;\vec{E}=\vec{E_{in}}+\vec{E_c}\;E=Ein​​+Ec​​
      由于∮CEc⃗⋅dl⃗=0\;\oint_C\vec{E_c}\cdot d\vec{l}=0\;∮C​Ec​​⋅dl=0
      故有
      ∮CE⃗⋅dl⃗=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}∮C​E⋅dl=−dtd​∫S​B⋅dS

• 引起法拉第电磁感应定律的几种情况

  • 回路不变，磁场随时间变化

    • 积分形式：
      ∮CE⃗⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S} ∮C​E⋅dl=−∫S​∂t∂B​⋅dS
    • 微分形式(斯托克斯定理)：
      ▽×E⃗=−∂B⃗∂t\triangledown\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} ▽×E=−∂t∂B​

  • 导体回路在恒定磁场中运动
    εin=∮CE⃗⋅dl⃗=∮C(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\varepsilon_{in}=\oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=\oint_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l} εin​=∮C​E⋅dl=∮C​(v×B)⋅dl

  • 回路在时变磁场中运动
    εin=∮C(v⃗×B⃗)⋅dl⃗−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗\varepsilon_{in}=\oint_C(\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{l}-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S} εin​=∮C​(v×B)⋅dl−∫S​∂t∂B​⋅dS

    相关例题：PPT第二章p71

2.6 麦克斯韦方程组

2.6.1 麦克斯韦方程组积分形式

• {∮CH⃗⋅dl⃗=∮S(J⃗+∂D⃗∂t)⋅dS⃗∮CE⃗⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗∮SB⃗⋅dS⃗=0∮SD⃗⋅dS⃗=∫Vρ\left\{ \begin{array}{lr} \oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\oint_S(\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot d\vec{S}\\ \oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\int_S\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}\\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\\ \oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}= \int_V\rho \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∮C​H⋅dl=∮S​(J+∂t∂D​)⋅dS∮C​E⋅dl=−∫S​∂t∂B​⋅dS∮S​B⋅dS=0∮S​D⋅dS=∫V​ρ​

• ∮SJ⃗⋅dS⃗=−∫VρdV\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=-\int_V\rho dV∮S​J⋅dS=−∫V​ρdV

2.6.2 麦克斯韦方程组微分形式

• {▽×H⃗=J⃗+∂D⃗∂t▽×E⃗=−∂B⃗∂t▽⋅B⃗=0▽⋅D⃗=ρ\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown \times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\\ \triangledown \times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\ \triangledown\cdot \vec{B}=0\\ \triangledown\cdot\vec{D}=\rho \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​▽×H=J+∂t∂D​▽×E=−∂t∂B​▽⋅B=0▽⋅D=ρ​

2.6.3 麦克斯韦方程组适用范围：一切宏观电磁现象

相关例题：PPT第二章p87

2.7 电磁场的边界条件

2.7.1 边界条件一般表达式：

{en⃗×(H1⃗−H2⃗)=JS⃗en⃗×(E1⃗−E2⃗)=0en⃗⋅(B1⃗−B2⃗)=0en⃗⋅(D1⃗−D2⃗)=ρS\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\times(\vec{H_1}-\vec{H_2})=\vec{J_S}\\ \vec{e_n}\times(\vec{E_1}-\vec{E_2})=0\\ \vec{e_n}\cdot(\vec{B_1}-\vec{B_2})=0\\ \vec{e_n}\cdot(\vec{D_1}-\vec{D_2})=\rho_S \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​en​​×(H1​​−H2​​)=JS​​en​​×(E1​​−E2​​)=0en​​⋅(B1​​−B2​​)=0en​​⋅(D1​​−D2​​)=ρS​​

2.7.2 两种常见情况

• 在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS=0ρS=0\;J_S=0\;\;\;\rho_S=0\;JS​=0ρS​=0，故
  {en⃗×(H1⃗−H2⃗)=0en⃗×(E1⃗−E2⃗)=0en⃗⋅(B1⃗−B2⃗)=0en⃗⋅(D1⃗−D2⃗)=0\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\times(\vec{H_1}-\vec{H_2})=0\\ \vec{e_n}\times(\vec{E_1}-\vec{E_2})=0\\ \vec{e_n}\cdot(\vec{B_1}-\vec{B_2})=0\\ \vec{e_n}\cdot(\vec{D_1}-\vec{D_2})=0 \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​en​​×(H1​​−H2​​)=0en​​×(E1​​−E2​​)=0en​​⋅(B1​​−B2​​)=0en​​⋅(D1​​−D2​​)=0​
• 理想导体表面上的边界条件
  

  理想导体：电导率为无限大的导电媒质
  特征：电磁场不可能进入理想导体内

  设媒质2为理想导体，则E2D2H2B2\;E_2\;\;D_2\;\;H_2\;\;B_2\;E2​D2​H2​B2​均为零，故
  {en⃗×H⃗=JS⃗en⃗×E⃗=0en⃗⋅B⃗=0en⃗⋅D⃗=ρS\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\times\vec{H}=\vec{J_S}\\ \vec{e_n}\times\vec{E}=0\\ \vec{e_n}\cdot\vec{B}=0\\ \vec{e_n}\cdot\vec{D}=\rho_S \end{array} \right . ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​en​​×H=JS​​en​​×E=0en​​⋅B=0en​​⋅D=ρS​​

  相关例题：PPT第二章P96

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