【BZOJ4517】排列计数，组合数+错排

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题意就是数字1-n任意排列，要求有m个数，放在它们各自对应的位置上（就是1放在位置1上，2放在位置2上……），剩下n-m个数全部不在对应的位置上（比如3不在位置3上，4不在位置4上），求排列的方案数
思路：显然与组合数有关系，选择的m个数位置确定，那么就是C(m,n)，而剩下的n-m个要求完全错排，我们记i个数完全错排的方案数为f(i)，那么每次询问的答案就是C(m,n)*f(n-m)
对于f(i)，我通过打表发现一个神奇的性质
f(i)=f(i−1)×i+(−1)if(i)=f(i-1)×i+(-1)^i
f(1)=0f(1)=0
数据范围为n,m<=10^6，所以我们完全可以O(n)预处理出f[i]。对于组合数，我们可以预处理1-10^6的阶乘，然后根据Cmn=n!m!(n−m)!C^{m}_{n}=\frac{n!}{m!(n-m)!}，求m!与(n-m)!关于10^9+7的逆元进行计算
UPD 2017.1.3
补充一下错排的证明
我们要求的是令排列中的每个位置pi≠ip_i≠i,那我们就可以考虑补集转化，使排列中至少有一个位置pi=ip_i=i
这个问题我们可以通过容斥得到，所以最终答案就是

f(i)=∑i=0n(−1)in!i!

f(i)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\frac {n!} { i!}
对于 n=1n=1, f(1)=0f(1)=0显然成立
对于 n>1n>1,归纳一下我们发现

∑i=0n(−1)in!i!=n×∑i=0n−1(−1)i(n−1)!i!+(−1)nn!n!=f(n−1)×n+(−1)n

\sum_{i=0}^n(-1)^i\frac {n!} { i!}=n×\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\frac {(n-1)!} { i!}+(-1)^n\frac {n!} {n!}=f(n-1)×n+(-1)^n
注意：long long

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define mo 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
LL fac[1000010],f[1000010];
int t,n,m;
LL inv(LL x)
{LL y=mo-2,ans=1;while (y){if (y&1) ans=ans*x%mo;x=x*x%mo;y>>=1;}return ans;
}
int main()
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=1000000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mo;f[0]=1;for (int i=2;i<=1000000;i++){f[i]=f[i-1]*i%mo;if (i&1) f[i]--;else f[i]++;}scanf("%d",&t);while (t--){scanf("%d%d",&n,&m);printf("%d\n",fac[n]*inv(fac[m])%mo*inv(fac[n-m])%mo*f[n-m]%mo);}return 0;
}

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