Inverse Fourier transform
Definition
F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dtF(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(t)exp(-j\omega t)dtF(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
Inverse Fourier transform
f(t)=F−1(F(ω))=12π∫−∞∞f(ω)exp(jωt)dωf(t)=\mathcal F ^{-1}( F(\omega))=\frac {1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\omega)exp(j\omega t)d\omegaf(t)=F−1(F(ω))=2π1∫−∞∞f(ω)exp(jωt)dω
Proof
F(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dtF(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}f(t)exp(-j\omega t)dtF(ω)=∫−∞∞f(t)exp(−jωt)dt
F(ω)=∫−∞∞12π∫−∞∞f(ω′)exp(jω′t)dω′exp(−jωt)dtF(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty}\frac {1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\omega ^{\prime})exp(j\omega ^{\prime} t) d\omega ^{\prime} exp(-j\omega t)dtF(ω)=∫−∞∞2π1∫−∞∞f(ω′)exp(jω′t)dω′exp(−jωt)dt
=12π∫−∞∞∫−∞∞f(ω′)exp(jω′t)dω′exp(−jωt)dt=\frac {1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\omega ^{\prime})exp(j\omega ^{\prime} t) d\omega ^{\prime} exp(-j\omega t)dt=2π1∫−∞∞∫−∞∞f(ω′)exp(jω′t)dω′exp(−jωt)dt
=12π∫−∞∞∫−∞∞f(ω′)exp(−j(ω′−ω)t)dω′dt=\frac {1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty}\int ^{\infty} _{-\infty}f(\omega ^{\prime}) exp(-j(\omega ^{\prime}-\omega) t) d\omega ^{\prime} dt=2π1∫−∞∞∫−∞∞f(ω′)exp(−j(ω′−ω)t)dω′dt
=12π∫−∞∞f(ω′)[∫−∞∞exp(−j(ω′−ω)t)dt]dω′=\frac {1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty} f(\omega ^{\prime}) \left[ \int ^{\infty} _{-\infty} exp(-j(\omega ^{\prime}-\omega) t) dt \right] d\omega ^{\prime}=2π1∫−∞∞f(ω′)[∫−∞∞exp(−j(ω′−ω)t)dt]dω′
Let
δ(ω−ω′)=12π∫−∞∞exp(−j(ω′−ω)t)dt\delta (\omega - \omega ^{\prime} )= \frac {1}{2\pi} \int ^{\infty} _{-\infty} exp(-j(\omega ^{\prime}-\omega) t) dt δ(ω−ω′)=2π1∫−∞∞exp(−j(ω′−ω)t)dt
F(ω)=∫−∞∞f(ω′)δ(ω−ω′)dω′F(\omega)=\int ^{\infty} _{-\infty} f(\omega ^{\prime}) \delta (\omega - \omega ^{\prime} ) d\omega ^{\prime}F(ω)=∫−∞∞f(ω′)δ(ω−ω′)dω′
For δ\deltaδ function
∫−∞∞δ(x)dx=1,δ(x)=0,forx≠0\int ^{\infty} _{-\infty}\delta (x)dx=1 , \delta (x)=0, \quad for \quad x \neq 0 ∫−∞∞δ(x)dx=1,δ(x)=0,forx=0
∫−∞∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)\int ^{\infty} _{-\infty} f(x) \delta (x-a)dx=f(a)∫−∞∞f(x)δ(x−a)dx=f(a)
12π∫−∞∞e−jωxdx=δ(ω)\frac{1}{2\pi}\int ^{\infty} _{-\infty} e^{-j\omega x}dx=\delta (\omega)2π1∫−∞∞e−jωxdx=δ(ω)
Therefore,
∫−∞∞f(ω′)δ(ω−ω′)dω′=F(ω)\int ^{\infty} _{-\infty} f(\omega ^{\prime}) \delta (\omega - \omega ^{\prime} ) d\omega ^{\prime}=F(\omega)∫−∞∞f(ω′)δ(ω−ω′)dω′=F(ω)
Inverse Fourier transform相关推荐
- 关于cos(x^2)的傅里叶逆变换(Inverse Fourier Transform)
目录 1. 研究背景 2. 傅里叶(逆)变换 1.1 定义 1.2 性质 1.2.1 线性 1.2.2 微分乘积对偶性 3. 函数介绍 4. 研究方法 4.1 自组装 4.1.1 第一次微分 4.1. ...
- FT(Fourier Transform)在滤波上的应用
数学真的是一个神奇的科学,美妙之处无法言语形容. 傅里叶变换的推导见博客: 对于非周期的函数就是周期T趋于0,将一般非周期的函数写作傅里叶级数的形式: 其中:就是FT(Fourier Transfor ...
- 数字图像处理实验(5):PROJECT 04-01 [Multiple Uses],Two-Dimensional Fast Fourier Transform
实验要求: Objective: To further understand the well-known algorithm Fast Fourier Transform (FFT) and ver ...
- Python+OpenCV:傅里叶变换(Fourier Transform)
Python+OpenCV:傅里叶变换(Fourier Transform) ############################################################# ...
- 傅立叶变换(Fourier Transform)分析理解
引言 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从 ...
- Xilinx IP解析之 Fast Fourier Transform(FFT) v9.1
Xilinx IP解析之 Fast Fourier Transform(FFT) v9.1 前言--两个FFT IP核的区分 在Vivado的IP中搜索FFT,会显示出FFT和LTE FFT,如下图所 ...
- 使用 scipy.fft 进行Fourier Transform:Python 信号处理
摘要:Fourier transform 是一个强大的概念,用于各种领域,从纯数学到音频工程甚至金融. 本文分享自华为云社区<使用 scipy.fft 进行Fourier Transform:P ...
- 短时傅里叶变换原理及其MATLAB实现(Short Time Fourier Transform,STFT)
短时傅里叶变换原理及其MATLAB实现(Short Time Fourier Transform,STFT) 1.短时Fourier变换原理(STFT原理) 信号x(t)短时Fourier变换定义为: ...
- 03.fourier transform(傅立叶变换)
一:演示 原图 傅里叶变换 原本四个角比较亮(低频),经过四个角平移到中心,中心会比较亮 中心亮的是低频: 四周暗的是高频: 将图像四周置0(暗的区域)后,傅里叶反变换图像: 将图像中心置0(亮的区域 ...
最新文章
- 如何重构“箭头型”代码
- 转帖-MySQL Innodb日志机制深入分析
- /etc/passwd /etc/shadow 详解
- 谈谈前后端分离实践中如何提升RESTful API开发效率
- 深入浅出学Hive:Hive内建操作符与函数开发
- mysql获取网站绝对路径_Symfony2获取web目录绝对路径、相对路径、网址的方法
- 基于Java聊天系统设计(含源文件)
- python动力学仿真_python滑坡动力学
- 判断字符串格式_Python基础教程,第四讲,字符串详解
- C中的extern-static-const关键词
- win10安装ubuntu子系统,然后安装python3.6
- html textarea粘贴事件,javascript在textarea中捕获粘贴事件
- zz JQuery 插件
- Confluence 6 配置草稿保存的时间
- IIS下载无后缀文件的设置
- 毕业论文用到的在线网站
- php在线编辑器脚本,PHP如何搭建百度Ueditor富文本编辑器
- Laravel - 从百草园到三味书屋 From Apprentice To Artisan目录
- Python给照片换底色,基于opencv模块
- ubuntu1804 3dm-gx5-25