题目

题目描述

定义一个置换PPP的平方QQQ为对[1,2,3,⋯⋯,n−1,n][1,2,3,\cdots \cdots,n -1,n][1,2,3,⋯⋯,n−1,n]做两次该置换得到的排列，即Qi=PpiQ_i=P_{p_i}Qi=Ppi
现在已知一个置换的平方，求该置换

输入格式

第一行一个整数nnn表示排列长度
第二行nnn个整数表示所求置换的平方

输出格式

若有解则输出一行nnn个数表示原置换（输出任意一个），否则输出−1-1−1

样例

样例输入

4
2 1 4 3

样例输出

3 4 2 1

数据范围与提示

20%20\%20%的数据：n⩽10n\leqslant 10n⩽10
100%100\%100%的数据：1⩽n⩽1061\leqslant n\leqslant 10^61⩽n⩽106

题解

我们先来观察一下置换平方后是什么鬼
假设我们有一个置换：(2,3,1,5,4)(2,3,1,5,4)(2,3,1,5,4)
它可以被拆解为两个环：[2,3,1][5,4][2,3,1][5,4][2,3,1][5,4]
我们把它平方一下：(3,1,2,4,5)(3,1,2,4,5)(3,1,2,4,5)
发现它可以拆成三个环：[3,1,2][4][5][3,1,2][4][5][3,1,2][4][5]
我们发现，如果是一个偶环，平方后就拆开了，如果是一个奇环，就还会是一个奇环
得到了这个规律以后，我们就可以处理这道题了
先把平方后的结果拆成环，对于偶环，就两两合并，比如[1,3,5][1,3,5][1,3,5]和[2,4,6][2,4,6][2,4,6]合并为[1,2,3,4,5,6][1,2,3,4,5,6][1,2,3,4,5,6]；对于奇环，通过观察，可以发现，我们需要把它拆成两半之后合并，比如[1,3,2][1,3,2][1,3,2]拆成[2,1][3][2,1][3][2,1][3]合并为[2,3,1][2,3,1][2,3,1]（注意，这里的环指的并不是按照置换中的顺序排的，而是按遍历的顺序）
最后，对于输出−1-1−1的情况当然只有一个啦，那就是有奇数个偶环
附上代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
int n,Size,q[1000010],v[1000010],p[1000010];
vector<int> h[1000010],l[1000010];
int main()
{freopen("permutation.in","r",stdin);freopen("permutation.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&q[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int s=0;for(int j=i;!v[j];j=q[j]) v[j]=1,s++,h[i].push_back(j);l[s].push_back(i);}for(int i=1;i<=n;i++) if((!(i&1))&&(l[i].size()&1)){printf("-1");return 0;}memset(v,0,sizeof(v)),Size=l[1].size();for(int i=0;i<Size;i++) p[l[1][i]]=l[1][i]; for(int i=2;i<=n;i++){Size=l[i].size();for(int j=0;j<Size;j++)if(i&1){int x=h[l[i][j]][0],y=h[l[i][j]][i/2+1];while(!v[x]) v[x]=v[y]=1,p[x]=y,x=q[x],p[y]=x,y=q[y];}else{int x=h[l[i][j]][0],y=h[l[i][j+1]][0];while(!v[x]&&!v[y]) v[x]=v[y]=1,p[x]=y,x=q[x],p[y]=x,y=q[y];j++;}}for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",p[i]);
}

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