题目

给出一棵\(n\)个点的树，从1到\(n\)编号，\(m\)次询问\({LCA} _{v\in[L,R]}\)。

\(n,m\le 3\times 10^5​\)

分析

我的做法是直接对LCA进行倍增，即\(f[i][j]\)表示从\(i\)号点开始的\(2^j\)个点的LCA，\(O(n\log ^2 n)\)预处理\(O(\log n)\)查询（分成前后两段，类似RMQ问题中ST表的做法）。

实际上还有复杂度更低的方法。

求一大堆点的共同LCA其实就是求其中dfn序最小和最大的点的LCA。直观的证明如下。取得询问点的中dfn序最小的那个，设为\(x\)，另一个点\(v\)点的位置有两种情况：

• \(v\)在\(x\)的子树内（能满足\(dfn_v>dfn_x\)），那么他们的LCA就是\(x\)
• \(v\)在\(x\)的子树外，那么它必定在\(x\)的某一个祖先的子树内。这个祖先越往上，\(dfn_v\)就越大。

综上，一堆点的LCA为其中dfn序最小和最大的两点的LCA。

于是这个问题就变成了一个每次得到dfn序的极值点，求一次LCA的了。可以用线段树方便地实现。复杂度为\(O((n+m)\log n)\)。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define M(x) memset(x,0,sizeof x)
using namespace std;
int read() {int x=0,f=1;char c=getchar();for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';return x*f;
}
const int maxn=3e5+1;
const int maxj=19;
int n,st[maxn][maxj],bin[maxn];
namespace tree {vector<int> g[maxn];int top[maxn],size[maxn],son[maxn],dep[maxn],fat[maxn];void clear(int n) {for (int i=1;i<=n;++i) g[i].clear();M(top),M(size),M(son),M(dep);}void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}int dfs(int x,int fa) {int &sz=size[x]=1,&sn=son[x]=0;dep[x]=dep[fat[x]=fa]+1;for (int v:g[x]) if (v!=fa) {sz+=dfs(v,x);if (size[v]>size[sn]) sn=v;}return sz;}void Top(int x,int fa,int tp) {top[x]=tp;if (son[x]) Top(son[x],x,tp);for (int v:g[x]) if (v!=fa && v!=son[x]) Top(v,x,v);}int lca(int x,int y) {for (;top[x]!=top[y];dep[top[x]]>dep[top[y]]?x=fat[top[x]]:y=fat[top[y]]);return dep[x]<dep[y]?x:y;}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("test.in","r",stdin);
#endifwhile (~scanf("%d",&n)) {tree::clear(n);for (int i=2;i<=n;++i) bin[i]=bin[i>>1]+1;M(st);for (int i=1;i<n;++i) {int x=read(),y=read();tree::add(x,y),tree::add(y,x);}tree::dfs(1,1);tree::Top(1,1,1);for (int i=1;i<=n;++i) st[i][0]=i;for (int j=1;j<maxj;++j) for (int i=1;i<=n;++i) {st[i][j]=st[i][j-1];if ((i+(1<<(j-1)))<=n) st[i][j]=tree::lca(st[i][j],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);}int m=read();while (m--) {int l=read(),r=read();int len=r-l+1,d=bin[len];int ans=tree::lca(st[l][d],st[r-(1<<d)+1][d]);printf("%d\n",ans);}}return 0;
}