题目：硬阈值(Hard Thresholding)函数解读

1、硬阈值(Hard Thresholding)函数的符号

硬阈值(Hard Thresholding)并没有软阈值(Soft Thresholding)那么常见，这可能是因为硬阈值解决的问题是非凸的原因吧。硬阈值与软阈值由同一篇文献提出，硬阈值公式参见文献【1】的式( 11)：

第一次邂逅硬阈值(HardThresholding)是在文献【2】中：

在查询软阈值(Soft Thresholding)的过程中，搜到了文献【3】，进而看到了提到了文献【4】：

文献【4】中提到的Fig 1如图所示：

硬阈值的符号到底表示什么意思呢？以文献【1】符号为例，清晰一点来说就是这样的：

这里w是变量，λ是阈值。

2、硬阈值(HardThresholding)函数的作用

弄清楚了硬阈值(HardThresholding)的符号表示以后，接下来说一说它的作用。这里主要是参考了软阈值的推导过程，然后自己经过一番琢磨和推导而得。

硬阈值(HardThresholding)可以求解如下优化问题：

其中：

||X||₀是求向是向量X的零范数，即向量X中非零元素的个数。根据范数的定义，可以将上面优化问题的目标函数拆开：

其中拆分项中符号|x|₀的意思是

现在，我们可以通过求解N个独立的形如函数

的优化问题，来求解这个问题。将f(x)进一步写为：

对于x≠0部分，我们知道它的最小值在x=b处取得，最小值为λ。现在的问题是λ与b²到底谁更小？最小者将是函数f(x)的最小值。求解不等式b²>λ可得

此时最小值在x=0处取得；

求解不等式b²<λ可得

此时最小值在x=b处取得；

因此

与前面的硬阈值(Hard Thresholding)对比一下，发现了么？若将上式中的b视为变量，sqrt(λ)视为阈值，上式即为硬阈值(Hard Thresholding)的公式。

至此，我们可以得到优化问题

的解为

注：该式为硬阈值(Hard Thresholding)的矩阵形式，这里的B是一个向量，应该是逐个元素分别执行硬阈值函数；。

3、硬阈值(HardThresholding)的变形

当优化问题变为

因为对目标函数乘一个常系数不影响极值点的获得，所以可等价为优化问题

此时的解为。

4、硬阈值(Hard Thresholding)的MATLAB代码

硬阈值(Hard Thresholding)的函数代码可以写成专门针对优化问题

MATLAB函数代码如下（参考了文献【5】倒数第2页）：

function [ hard_thresh ] = hardthresholding( b,lambda )
sel = (abs(b)>sqrt(lambda));
hard_thresh = b.*sel;
end

一定要注意：这种写法是针对最开始的优化问题：

但我个人感觉更应该写成这种通用形式：

function [ x ] = hard( b,T )
sel = (abs(b)>T);
x = b.*sel;
end

如此之后，若要解决优化问题

只需调用hard(B, sqrt(λ))即可；若要解决优化问题

只需调用hard(B, sqrt(2*λ))即可。

5、硬阈值(HardThresholding)测试代码

硬阈值(Hard Thresholding)要解决的优化问题目标函数是非凸的，不太常见，手边目前没有其它函数求解这个问题，因此测试代码只能测一下这个函数编写的正确与否了：

clear all;close all;clc;
b = [-0.8487 -0.3349 0.5528 1.0391 -1.1176]';
lambda = 0.5;
x1=hardthresholding(b,lambda)
x2=hard(b,sqrt(lambda))
fprintf('\nError between hardthresholding and hard = %f\n',norm(x1-x2))

这里就不给出输出结果了。可以运行一下，从输出结果来看，函数的功能是正确的。

另外，可以在matlab里输入以下命令看一个软阈值的图像：

x=-5:0.01:5;T=1;y=hard(x,T);plot(x,y);grid;

6、结束语

终于搞明白了硬阈值和软阈值，在文献【3】最后作者提到“哎，数学不好害死人啊，什么时候才能达到大牛们的高度啊”，相信很多人会有同样的感觉吧。但转念一想，我们不可能把矩阵分析、数值分析、泛函分析、最优化、组合数学等（脑子里就想到了这么多）所有的数学基础课内容都学完再去搞研究的，边研究边学习，哪儿不会了补哪儿才是最正常的模式吧……

再说了，如果让你单纯的学数学基础，你可能会感觉非常无聊，可能还会经常抱怨一句：学这些枯燥的数学有什么用呢？

还是继续前进吧，想信自己，路会越走越宽的……

7、参考文献

【1】Donoho D L, JohnstoneJ M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J]. Biometrika, 1994, 81(3):425-455.

【2】Wright SJ, Nowak R D, Figueiredo M A T. Sparse reconstruction by separableapproximation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(7):2479-2493.

【3】http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d0e97bb01015vq3.html

【4】Elad M,Figueiredo M A T, Ma Y. On the Role of Sparse and Redundant Representations inImage Processing[J]. Proceedings of the IEEE, 2010, 98(6):972-982.

【5】http://www.docin.com/p-553314466.html

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