前言

OpenVINS的初始化中，为了解决最终的带约束优化问题，使用了论文A constrained Eigenvalue Problem的结论，本文对此进行简单记录。

一、问题模型

文章针对以下优化问题进行求解：
m i n x T A x s t . N T x = t , x T x = 1 min \quad \mathbf x^T\mathbf A \mathbf x \\ st. \quad\mathbf N^T\mathbf x=\mathbf t,\mathbf x^T\mathbf x=1 minxTAxst.NTx=t,xTx=1
其中 A \mathbf A A为n+m阶对称方阵，极小范数特解|| ( N T ) + t ∣ ∣ < 1 (\mathbf N^T)^{+}\mathbf t||<1 (NT)+t∣∣<1。

二、问题求解

整体目标是减少约束个数，将原模型进行简化。

1.消除线性约束

对于第一个约束，其通解可以表示为：
x = ( N T ) + t + ξ , ξ ∈ N ( N T ) \mathbf x = (\mathbf N^T)^{+}\mathbf t + \xi,\quad \xi \in \mathcal N(\mathbf N^T) x=(NT)+t+ξ,ξ∈N(NT)
如果使用如下的SVD分解：
N T = U Σ V T Σ = [ S m × m 0 m × n ] , V = [ V 1 V 2 ] \mathbf N^T =\mathbf U\mathbf \Sigma \mathbf V^T \\ \mathbf \Sigma=[\mathbf S_{m\times m}\quad \mathbf 0_{m \times n}],\mathbf V=[\mathbf V_1\quad \mathbf V_2] NT=UΣVTΣ=[Sm×m0m×n],V=[V1V2]
则第一个约束的通解可以表示为：
x = V Σ + U T t + V 2 z \mathbf x = \mathbf V\mathbf \Sigma^{+}\mathbf U^T\mathbf t + \mathbf V_2\mathbf z x=VΣ+UTt+V2z
z取任意向量。更简单的方式是采用QR分解，也即 N = P [ R m × m 0 n × m ] \mathbf N=\mathbf P\begin{bmatrix} \mathbf R_{m\times m} \\ \mathbf 0_{n\times m}\end{bmatrix} N=P[Rm×m0n×m]， P \mathbf P P为正交矩阵。则原问题进一步转化为：
m i n y T B y + 2 z T Γ y + z T C z s t . R T y = t , y T y + z T z = 1 min \quad \mathbf y^T\mathbf B \mathbf y +2\mathbf z^T\mathbf \Gamma\mathbf y+\mathbf z^T\mathbf C\mathbf z \\ st. \quad \mathbf R^T\mathbf y=\mathbf t,\mathbf y^T\mathbf y+\mathbf z^T\mathbf z=1 minyTBy+2zTΓy+zTCzst.RTy=t,yTy+zTz=1
R \mathbf R R和 t \mathbf t t均为已知量，因此 y = R − T t \mathbf y=\mathbf R^{-T}\mathbf t y=R−Tt可求解，再定义 s 2 : = 1 − y T y ， b : = − Γ y s^2:=1-\mathbf y^T\mathbf y，\mathbf b:=-\mathbf \Gamma \mathbf y s2:=1−yTy，b:=−Γy，可获得单约束的优化模型：
m i n z T C z − 2 b T z s t . z T z = s 2 min \quad \mathbf z^T\mathbf C\mathbf z-2\mathbf b^T\mathbf z \\ st. \quad \mathbf z^T\mathbf z=s^2 minzTCz−2bTzst.zTz=s2

2.驻点求解

上述问题可以通过拉格朗日乘子法求解，问题进一步转化为：
m i n λ s t . C z = λ z + b , z T z = s 2 min \quad \lambda \\ st. \quad \mathbf C \mathbf z=\lambda \mathbf z+\mathbf b,\mathbf z^T\mathbf z=s^2 minλst.Cz=λz+b,zTz=s2
对于该问题，一种解法是将其转化为Quadratic Eigenvalue问题，改写第一个约束，并利用第二个约束，我们可以定义如下的函数：
f ( λ ) = b T ( C − λ I ) − 2 b − s 2 f(\lambda )=\mathbf b^T(\mathbf C-\lambda \mathbf I)^{-2}\mathbf b-s^2 f(λ)=bT(C−λI)−2b−s2
求其零点就可以获得最终的解。同时我们也可以将待解方程改写为：
( C − λ I ) 2 γ = 1 s 2 b b T γ , γ = ( C − λ I ) − 2 b (\mathbf C-\lambda \mathbf I)^2\gamma=\frac{1}{s^2}\mathbf b\mathbf b^T\gamma,\gamma=(C-\lambda \mathbf I)^{-2}\mathbf b (C−λI)2γ=s21bbTγ,γ=(C−λI)−2b
这一解法被OpenVINS采用，但是由于解集的扩大，最终的解需要和原方程比对。文章定理5.1证明了该方程存在满足拉格朗日方程的解。

参考文献

[1] A Constrained Eigenvalue Problem
[2] OpenVINS State Initialization: Details and Derivations

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