矩阵理论第一章—线性空间与子空间，空间分解与维数定理

2024-05-13 09:32:09

1.1线性空间与子空间

1.1.1运算的封闭：如果数集P中的两个数做运算，其结果任然在数集P中，我们就称数集P对这个运算是封闭的。
1.1.2数域：如果数集P对加减乘除都封闭，那么将数集P称为数域。
1.1.3如果V上的元素对加法和数乘封闭，则称V为线性空间。（也就是说：如果让我们验证V是不是为线性空间，我们只需要看它是不是对加法和数乘封闭）。
1.1.4线性空间的维数与基底：维数=最大线性无关向量的个数，基底=最大线性无关的向量。（维数是一个确定的数，但是基底是n个可变的向量）
1.1.5线性子空间：如果W属于V，且W自己也是线性空间（W自己对加法和数乘封闭），则称W为V的线性子空间。

1和2条针对的是数，而345条针对的是向量。

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1.2空间分解与维数定理

1.2.1线性空间的和：V1和V2是V的线性子空间，V1+V2就表示所以能表示成a1+a2的向量组成的集合的线性子空间。（线性空间的和要与数的并集∪做区分：线性空间如果画出来就是无限大的，无限延申的，而数的∪是一块一块的。）
1.2.2维数定理：dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
证明基本思路：①假设V1∩V2的一个基底a1,a2,…,an。
②对上述a基底进行扩充，使其称为V1以及V2的基底
（V1:a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm;V2:a1,a2,…,an,r1,r2,…,rl）
那么就默认dim(V1∩V2）=n;dim(V1)=n+m;dim(V2)=n+l。
③只需证明V1+V2的基底是a1,a2,…,an,b1,b2…,bm,r1,r2,…,rl。
④可以显然的是上面的基底可以作为V1和V2的任意元素相加，但是还需要证明基底的线性无关。
⑤：证明基底的线性无关用定义来证：只要证明向量前面的系数全部为0.才能得到零向量.
1.2.3直和：a可由a1，a2唯一线性表出，a∈V1+V2，a1∈V1，a2∈V2。
1.2.4等价命题：
①V1+V2是直和
②零向量表示法唯一
③V1∩V2={0}（证明直和一般用这个）
④dim(V1∩V2)=0
⑤dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)

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