hihocoder 博弈三连发

#1163 : 博弈游戏·Nim游戏

时间限制: 10000ms

单点时限: 1000ms

内存限制: 256MB

描述

今天我们要认识一对新朋友，Alice与Bob。
Alice与Bob总是在进行各种各样的比试，今天他们在玩一个取石子的游戏。
在这个游戏中，Alice和Bob放置了N堆不同的石子，编号1..N，第i堆中有A[i]个石子。
每一次行动，Alice和Bob可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。
Alice和Bob轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。
假设每一轮游戏都是Alice先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都足够聪明，谁会获得胜利？

提示：Nim?!

输入

第1行：1个整数N。表示石子堆数。1≤N≤100
第2行：N个整数，第i个整数表示第i堆石子的个数A[i]，1≤A[i]≤10000

输出

第1行：1个字符串，若Alice能够获胜输出"Alice"，否则输出"Bob"

样例输入

3
3 2 1

样例输出

Bob

对于这个游戏有一个非常神奇的结论：

对于一个局面，当且仅当A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0时，该局面为P局面。

对于这个结论的证明如下：
1. 全0状态为P局面，即A[i]=0，则A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0。
2. 从任意一个A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = k != 0的状态可以移动到A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0的状态。由于xor计算的特殊性，我们知道一定有一个A[i]最高位与k最高位的1是相同的，那么必然有A[i] xor k < A[i]的，所以我们可以通过改变A[i]的值为A[i]'，使得A[1] xor A[2] xor ... xor A[i]' xor ... xor A[N] = 0。
3. 对于任意一个局面，若A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0，则不存在任何一个移动可以使得新的局面A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] = 0。由于xor计算的特殊性，我们可以知道，一定是存在偶数个1时该位置的1才会被消除。若只改变一个A[i]，无论如何都会使得1的数量发生变化，从而导致A[1] xor A[2] xor ... xor A[N] != 0。
以上三条满足ICG游戏中N,P局面的转移性质，所以该结论的正确性也得到了证明。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define eps 1e-8
#define MOD 10009
#define MAXN 10010
#define MAXM 100010
#define INF 99999999
#define ll __int64
#define bug cout<<"here"<<endl
#define fread freopen("ceshi.txt","r",stdin)
#define fwrite freopen("out.txt","w",stdout)using namespace std;int Read()
{char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') c = getchar();int x = 0;while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0';c = getchar();}return x;
}void Print(int a)
{if(a>9)Print(a/10);putchar(a%10+'0');
}int main()
{//fread;int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int ans=0;for(int i=0;i<n;i++){int a;scanf("%d",&a);ans^=a;}if(ans) puts("Alice");else puts("Bob");}return 0;
}

#1172 : 博弈游戏·Nim游戏·二

时间限制: 10000ms

单点时限: 1000ms

内存限制: 256MB

描述

Alice和Bob这一次准备玩一个关于硬币的游戏：
N枚硬币排成一列，有的正面朝上，有的背面朝上，从左到右依次编号为1..N。现在两人轮流翻硬币，每次只能将一枚正面朝上的硬币翻过来，并且可以随自己的意愿，在一枚硬币翻转后决定要不要将该硬币左边的任意一枚硬币也翻一次(正面翻到背面或背面翻到正面)。翻最后一枚正面向上的硬币的人获胜。同样的，这次游戏里面Alice仍然先手，两人均采取最优的策略，对于给定的初始局面，Alice会获胜还是Bob会获胜？

提示：Turning Turtles

输入

第1行：1个正整数N，表示硬币数量。1≤N≤10,000
第2行：1个字符串，第i个字符表示编号为i的硬币状态，’H’表示正面朝上，’T’表示背面朝上。

输出

第1行：1个字符串，若Alice能够获胜输出"Alice"，否则输出"Bob"

样例输入

8
HHTHTTHT

样例输出

Bob

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define eps 1e-8
#define MOD 10009
#define MAXN 10010
#define MAXM 100010
#define INF 99999999
#define ll __int64
#define bug cout<<"here"<<endl
#define fread freopen("ceshi.txt","r",stdin)
#define fwrite freopen("out.txt","w",stdout)using namespace std;int Read()
{char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') c = getchar();int x = 0;while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0';c = getchar();}return x;
}void Print(int a)
{if(a>9)Print(a/10);putchar(a%10+'0');
}
char ch[10010];int main()
{//fread;int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){getchar();scanf("%s",ch+1);int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(ch[i]=='H')ans^=i;}puts(ans?"Alice":"Bob");}return 0;
}

#1173 : 博弈游戏·Nim游戏·三

时间限制: 10000ms

单点时限: 1000ms

内存限制: 256MB

描述

在这一次游戏中Alice和Bob决定在原来的Nim游戏上增加一条规则：每一次行动时，不仅可以选择一堆取走任意数量的石子(至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子)，还可以选择将一堆石子分成两堆石子，但并不取走石子。比如说有一堆石子为k个，当Alice或者Bob行动时，可以将这一堆石子分成两堆，分别为x,y。满足x+y=k,x,y>0。那么增加了这一条规则后，在Alice总先手的情况下，请你根据石子堆的情况判断是Alice会获胜还是Bob会获胜？

提示：Sprague-Grundy

输入

第1行：1个整数N。表示石子堆数。1≤N≤100
第2行：N个整数，第i个整数表示第i堆石子的个数A[i]，1≤A[i]≤20000

输出

第1行：1个字符串，若Alice能够获胜输出"Alice"，否则输出"Bob"

样例输入

3
1 2 4

样例输出

Bob

局面上一共有N堆石子，每一次我们只能改变一堆石子。那么我们可以将每一堆石子看作一个单一游戏。
对于一堆石子，若该堆石子数量为0，就达到了终止状态，所以sg(0) = 0。
若其石子数量为k，接下来我们从k=1开始枚举递推每一个sg(k)。对于k，其可能的后继状态有：
(1)不分堆：石子数量为k’=0..k-1，则sg(k’)
(2)分堆：石子变为2堆，数量为(1,k-1),(2,k-2),…,(k-1,1)。设第一堆的石子数量为i，则sg值为sg(i) xor sg(k-i)。(这里用到了sg定理)
那么可以推算出sg(k) = mex{sg(0), sg(i), sg(i) xor sg(k - i) | i = 1..k-1}。

k     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
sg(k) 0 1 2 4 3 5 6 8 7 9 10 12 11 …

对于N堆石子，其sg值则为这N堆各自的sg值异或和。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define eps 1e-8
#define MOD 10009
#define MAXN 10010
#define MAXM 100010
#define INF 99999999
#define ll __int64
#define bug cout<<"here"<<endl
#define fread freopen("ceshi.txt","r",stdin)
#define fwrite freopen("out.txt","w",stdout)using namespace std;int Read()
{char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') c = getchar();int x = 0;while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0';c = getchar();}return x;
}void Print(int a)
{if(a>9)Print(a/10);putchar(a%10+'0');
}int main()
{//fread;int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){int a;scanf("%d",&a);if(a%4==0) a--;else if(a%4==3) a++;ans^=a;}puts(ans?"Alice":"Bob");}return 0;
}