漫步微积分三——如何计算切线的斜率

各种想法都有自己的一席之地，但是时间会剔除许多细节。

P＝(x0,y0)P＝(x_0,y_0)是抛物线y＝x2y＝x^2上的任意一个定点，如图1所示。作为基本思想的第一个图例，给定抛物线上一点PP，计算切线的斜率。首先，我们选择曲线上的一个临近点Q=(x1,y1)Q=(x_1,y_1)。接下来，我们画出由这两点确定的割线PQPQ，割线的斜率明显是：

msec=slope of PQ=y1−y0x1−x0(1)

m_{sec}={\rm slope\ of} \ PQ=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\tag 1 图1

现在是关键的一步︰我们让x1x_1靠近x0x_0，以便点QQ接近定点PP，就像一串沿着线滑动的佛珠。这样的话，割线开始改变方向并明显接近PP。而且，直观上来看，切线的斜率是割线斜率计算得到的极限值。用标准符号来表达就是:

m=limQ→P msec=limx1→x0y1−y0x1−x0(2)

m={\rm \lim_{Q\to P}}\ m_{sec}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\tag 2缩略词“lim”且下方有“x1→x0x_1\to x_0”读作“当x1x1趋向x0x_0，…的极限是”。

我们不能简单的设置x1=x0x_1=x_0来计算极限值mm，因为那样的话y1=y0y_1=y_0并且给出了无意义的结果：

m=y0−y0x0−x0=00

m=\frac{y_0-y_0}{x_0-x_0}=\frac{0}{0}我们必须将 x1x_1看做非常接近 x0x_0而有别于它。然而，当 x1x_1趋进 x0x_0时， y1−y0y_1-y_0和 x1−x0x_1-x_0变的非常小，他们商的极限值是多少并不清楚。

解决这个困难的办法是用曲线的方程。因为PP和QQ都落在曲线上，我们有y0＝x20y_0＝x_0^2和y1＝x21y_1＝x_1^2，所以（1）可以写成：

msec=y1−y0x1−x0=x21−x20x1−x0(3)

m_{sec}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}\tag 3分子变小的原因是它的一个因子包含分母。如果约掉这个公因子，得到：

msec=y1−y0x1−x0=x21−x20x1−x0=(x1−x0)(x1+x0)x1−x0=x1+x0

m_{sec}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}=\frac{(x_1-x_0)(x_1+x_0)}{x_1-x_0}=x_1+x_0（2）式就变成：

m=limx1→x0y1−y0x1−x0=limx1→x0(x1+x0)

m=\lim_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}(x_1+x_0)现在明显的看到：当 x1x_1越来越接近 x0x_0时， x1+x0x_1+x_0越来越接近于等式 x1+x0=2x0x_1+x_0=2x_0。相应的：

m=2x0(4)

m=2x_0\tag 4是曲线 y＝x2y＝x^2在点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)处切线的斜率。

例1:点（1,1）和（-1/2,1/4）在抛物线y＝x2y＝x^2（图2）上。根据（4），这些点切线的斜率是m=2m=2，m=−1m=-1。用直线的点斜方程，两条切线明显有两个方程：

y−1x−1=2y−14x+12=−1

\frac{y-1}{x-1}=2\quad \frac{y-\frac{1}{4}}{x+\frac{1}{2}}=-1同样的，

y−x20x−x0=2x0

\frac{y-x_0^2}{x-x_0}=2x_0是点（x0,x20）（x_0,x_0^2）处的切线方程。

图2

现在我们介绍一个被广泛使用的符号，读作delta。

刚刚描述的过程从独立变量xx的变化量开始。这种变化量的标准符号是Δx\Delta x，所以

Δx=x1−x0(5)

\Delta x=x_1-x_0\tag 5是 xx从第一个值到第二个值的变化量。我们也可以将第二个值看成是第一个值加上变化量得到的：

x1=x0+Δx(6)

x_1=x_0+\Delta x\tag 6 xx不是一个数Δ\Delta和一个数 xx的乘积，而是一个数，叫做xx的增量。增量 xx可以为正也可以为负。因此，如果x0=1，x1=3x_0=1，x_1=3，那么 x=3−1=2x=3-1=2；如果 x0=1，x1=−2x_0=1，x_1=-2，那么 x=−2−1=−3x=-2-1=-3。

字母Δ\Delta是希腊字母dd；当它写在一个变量前面时，它表示该变量两个值之差。这个简单的符号是极为方便的，几乎扩展到数学和科学的每个部分。我们用它来重写上述计算过程。

将（5）或（6）带入（3）的：

msec=x21−x20x1−x0=(x0+Δx)2−x20Δx(7)

m_{sec}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0}=\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}\tag 7这一次没有分解分子，我们增加了它的第一项，化简得：

(x0+Δx)2−x20=x20+2x0Δx+(Δx)2−x20=2x0Δx+(Δx)2=Δx(2x0+Δx)

\begin{split}(x_0+\Delta x)^2-x_0^2 &=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0^2\\ &=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2\\ &=\Delta x(2x_0+\Delta x) \end{split}所以（7）变为：

msec=2x0+Δx

m_{sec}=2x_0+\Delta x如果我们将它带入（2），利用 x1→x0x_1\to x_0等价于 Δx→0\Delta x\to 0，我们发现：

m=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0

m=\lim_{\Delta x\to 0}(2x_0+\Delta x)=2x_0跟之前的结果一样。再次看到指定的极限过程发生了什么：随着 xx越来越趋近于00， 2x0+Δx2x_0+\Delta x越来越趋近于 2x02x_0。

第二种方法（即使用delta符号）取决于扩大(x0+x)2(x_0+x)^2，而第一种取决于分解表达式x21−x20x_1^2-x_0^2。这种特定情况下，两种计算明显比其他方法容易。然而，第二种比第一种容易，为此我们采用增量作为我们的标准过程。

我们只进行了抛物线y=x2y=x^2的计算，理论上，任何函数y=f(x)y=f(x)（图3）都可以用此计算进行描述。我们首先计算通过两个点PP和QQ（对应于x0x_0和x0+xx_0+x）割线的斜率：

msec=f(x0+Δx)−f(x0)Δx

m_{sec}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}然后计算 xx趋进0时msecm_{sec}的极限，得到一个数 mm，几何上它是曲线上点PP割线的斜率：

m=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

m=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}这个极限值经常用 f′(x0)f'(x_0)表示，来强调它依赖于点 x0x_0和函数 f(x)f(x)。因此，根据定义我们有：

f′(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Δx(8)

f'(x_0)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \tag 8上面给出的计算结果也可以表示为：如果 f(x)=x2f(x)=x^2，则 f′(x0)=2x0f'(x_0)=2x_0。

图3

例2:计算f′(x0)f'(x_0) 其中f(x)=2x2−3x\quad f(x)=2x_2-3x

解：（8）中的分子是：

f(x0+Δx)−f(x0)=[2(x0+Δx)2−3(x0+Δx)]−[2x20−3x0]=2x20+4x0Δx+2(Δx)2−3x0−3Δx−2x20+3x0=4x0Δx+2(Δx)2−3Δx=Δx(4x0+2Δx−3)

\begin{align} f(x_0+\Delta x)-f(x_0)&=[2(x_0+\Delta x)^2-3(x_0+\Delta x)]-[2x_0^2-3x_0]\\ &=2x_0^2+4x_0\Delta x+2(\Delta x)^2-3x_0-3\Delta x-2x_0^2+3x_0\\ &=4x_0\Delta x+2(\Delta x)^2-3\Delta x\\ &=\Delta x(4x_0+2\Delta x-3) \end{align}因此（8）变为：

f(x0+Δx)−f(x0)Δx=Δx(4x0+2Δx−3)

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\Delta x(4x_0+2\Delta x-3)

f′(x0)=limΔx→0Δx(4x0+2Δx−3)=4x0−3

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x(4x_0+2\Delta x-3)=4x_0-3我们根据假设得到 (8)，即曲线有单一明确的切线。这的确是个假设，因为一些曲线并没有这种切线(图4)。然而，当切线存在时，它显然需要割线 PQPQ靠近极限位置，无论 QQ是从右还是从左。这两种方法区别在于xx靠近0时是只通过正值还是只通过负值。当极限存在时，两个方向靠近得到的极限值相同，这是（8）含义的一部分。

图4

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