【算法设计zxd】第2章 算法分析实例 递归非递归——交换，n阶乘，矩阵乘法，汉诺塔，二路归并，
目录
非递归形式算法分析：
递归形式算法分析：
【例2-9】交换a和b的值。
非递归
【例2-10】求n!
非递归：
思考题：韩信点兵
【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。
问题分析：
计算模型：
非递归：
【例2-13】汉诺塔(Tower of Hanoi)问题。
问题分析：
计算规模：
【例2-14】试分析二路归并排序算法的时间复杂度。
非递归形式算法分析：
递归形式算法分析：
【例2-9】交换a和b的值。
非递归
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：a,b | (1)输入a,b两个数，规模为2 |
| 输出：a,b | |
|
swap(a,b) { a <- b; b <- Temp; output(a,b); } |
(2)核心操作为3条交换语句； （3）核心操作执行的次数是一个与输入规模无关的常数 （4）算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= O(1) //O渐近上界 0 ≤ f(n) ≤ c*g (n ) |
【例2-10】求n!
非递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，规模为n ，控制迭代次数。 |
| 输出：n ! | |
|
F (n) { for i <- 1 to n do s=s*i ; output(s); } |
（2）核心操作为 s=s*i ； 一次乘法运算 （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= ∑(n,i=1) 1 = Θ(n) //渐近紧界 |
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，规模为n ，计算规模也是n |
| 输出：n ! | |
|
F (n) { else return n*F(n-1); } |
（2）核心操作为 n*F(n-1) ； 一次乘法运算 （3）根据递推公式，每递推一次，执行一次乘法操作，因此有以下推导过程： （4） //渐近紧界 |
思考题：韩信点兵
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int n=1;while( (n%3!=2)||(n%5!=3)||(n%7!=2)){n++;}cout<<n;//23return 0;} 优化：
//a,b,c中，c的大小对该结果影响最大，因此从c入手可以稍微提高运算效率。
void hanxin01()
{int n=9;//7+2int i=0; while(true){if(n%3==2&&n%5==3)break;i++;n+=7;}cout<<"次数:"<<i<<"结果"<<n<<endl;
} 【例2-11】对于任意给定的n阶方阵A和B，求A×B的积C并且 分析它算法执行效率。
问题分析：
C也是n阶方阵，每个元素 = 矩阵A的行 和矩阵B的列 的点积 。
对于 i>=0 , j<= n-1 的每一对下标 ，有 C[i,j] = A[i,0]B[0,j] +... + [i,k]B[k,j] + .... + A[i,n-1]B[n-1,j]
计算模型：
非递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：A,B | (1)输入A,B，规模为n x n |
| 输出：C=Ax B | |
|
MatrixMultiplication (A[n] ,B[n] ) { for i <- 0 to n-1 do for j <- 0 to n-1 do { C[i,j] <- 0.0 ; for k <- 0 to n-1 do C[i,j] = C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]; } return C; } |
（2）核心操作 通过加法和乘法运算 求C[i,j] （3）核心操作执行的次数，只受输入规模n控制 ∑(n-1 , k=0) 1 （4）依据定理2.5 算法的时间复杂度为常数阶 T(n)= Θ(n^3 ) //渐近紧界
|
【例2-13】汉诺塔(Tower of Hanoi)问题。
问题分析：
计算规模：
递归：
| 算法设计与描述 | 算法分析 |
| 输入：n | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出：显示 |
|
|
Hanoi (A,C,n) { else { Hanio(A,B,n-1);//n-1个盘子，从A移到B，借助另一个 move(A,C); // 从A移动到C Hanoi(B,C,n-1); // } } |
（2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】
|
【例2-14】试分析二路归并排序算法的时间复杂度。
问题分析：
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//二路归并
int a[100];
int n=10;
void merge(int a[],int low,int mid,int high)
{int sum1=mid-low+1;//元素个数 int sum2=high-mid;int b[100]={0};int c[100]={0};for(int i=0;i<sum1;i++){b[i]=a[i+low];} for(int i=0;i<sum2;i++){c[i]=a[i+mid+1];}//int i=0,j=0;int k=low;while(i<sum1&&j<sum2){//先从数组中找出较小的值if(b[i]<=c[j]){a[k]=b[i];i++;} else{a[k]=c[j];j++;}k++; }//如果有剩余if(i>sum1)//c有剩余 {for(;j<sum2;j++,k++){a[k]=c[j];}} else{for(;i<sum1;i++,k++){a[k]=b[i];}}
}
void mergesort(int a[],int low,int high)
{int mid;if(low<high){mid=(low+high)/2;mergesort(a,low,mid);mergesort(a,mid+1,high);merge(a,low,mid,high);}
}
void init(int a[])
{srand(time(0));for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%100;}
}
void show()
{for(int i=0;i<n;i++){cout<<a[i]<<"\t";}cout<<endl;
}
int main()
{init(a);show();mergesort(a,0,n-1);show();return 0;
}| 算法设计与描述 MergeSort( A,p,r ) | 算法分析【换元迭代】 |
| 输入：n个数的无序序列A[p,r] , 1<= p <= r <= n , | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出：n个数的有序序列A[p,r] | |
|
MergeSort (A,p,r) { { q <- (p+r)/2 ;//中间 MergeSort (A,p,q); //左侧 MergeSort(A,q+1,r) ;//右侧 Merge (A,p,q,r); } } |
（2）核心操作为 移动盘子 （3） (4) 换元
|
代码代码
Merge
| 算法设计与描述 Merge( A,p,q,r ) | 算法分析 |
| 输入：n按递增顺序排好的 A[p...q] 和 A[q+1...r ] | (1)输入n，计算规模是n |
| 输出:按照递增顺序排序的A[p,r] | |
|
Merge (A,p,q,r) { x <- q-p+1 ,y <- r-q;//x,y分别是两个子数组的元素数 A[p...q] -> B[1...x] , A[q+1...r] -> C[1...y] //两个新数组 i <- 1 ,j<- 1 ,k <- p while i<=x and j <= y do { if ( B[i] <= C[ j ] ) //注意是i 和 j { A[k] <- B[i];//较小数 i <- i+1; } else { A[k] <- C[j] ; j <- j+1; } k=k+1; } if(i>x) C[j...y] -> A[k..r] //如果还要剩余的元素，就不需要比较，直接赋值回去就行 else B[i..x] -> A[k...r] } |
（2）核心操作为 移动盘子 （3）根据递推公式，。。。【不全】 |
【算法设计zxd】第2章 算法分析实例 递归非递归——交换，n阶乘，矩阵乘法，汉诺塔，二路归并，相关推荐
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