HIT-2022spr-抽代期末补天

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1.群论

1. 循环群

循环群证明一个技巧：
如果某个子群HHH<群GGG是最小正整数ama^mam生成的，那么要证明H⊆(am)H\subseteq(a^m)H⊆(am)，我们可以设∀x⊆H,x=ak,k=qm+r\forall x \subseteq H,x=a^k,k=qm+r∀x⊆H,x=ak,k=qm+r.
x=aqm+r=aqmarx=a^{qm+r}=a^{qm}a^rx=aqm+r=aqmar
∵aqm∈G,a−qm∈G\because a^{qm}\in G,a^{-qm}\in G∵aqm∈G,a−qm∈G
消去律左乘:
H∋xa−qm=arH\ni xa^{-qm}=a^{r}H∋xa−qm=ar
因此ara^{r}ar只能为a0a^0a0,因为由ama^mam生成,m≥rm\geq rm≥r或r=0r=0r=0

2. 子群的陪集

if:H<Gif:H<Gif:H<G
左陪集aH={ah∣h∈H}aH=\{ah|h\in H\}aH={ah∣h∈H}
右陪集Ha={ha∣h∈H}Ha=\{ha|h\in H\}Ha={ha∣h∈H}
注意: a为群G中任意一个元素
例子: G为克莱因四元群

则{e,a}这个子群可以生成一个左陪集/右陪集

需要注意的是:H本身就是一个左陪集/右陪集,将左乘右乘的元素看成e即可

可以看出: 左右陪集都是群的子集

Theorem:
aH=H<=>a∈HaH=H <=> a\in HaH=H<=>a∈H
证明:

对称的定理:
Ha=H<=>a∈HHa=H <=> a\in HHa=H<=>a∈H
另外一个推广:
aH=bH<=>a−1b∈HaH=bH <=> a^{-1}b\in HaH=bH<=>a−1b∈H
theorem:

这个定理可以推导出一个很神奇的定理:

证明方法:

theorem

proof: 做一个映射
注：有一个很好的方式，能够充分考虑各个H中元素的性质，也就是取h∈Hh\in Hh∈H

theorem

也就是需要我们构造一个Sl到Sr的映射，一个比较巧妙的映射方法：
就是ϕ(aH)=Ha−1\phi (aH)=Ha^{-1}ϕ(aH)=Ha−1

幺半群cayley定理：

群的同态基本定理

注意是充分必要条件↑

拉格朗日定理告诉我们：有限群的各个子群的阶数都是相等的（注意是有限群）

环>(除了零之外没有其他的左右零因子)> 无零因子环>(有限的无零因子环为体)>体>(可换体成为域)> 域
环>(至少含1非零元素，非零元素对于乘法的运算构成一个群)>体
数学语言如下：

其中是R上的半群能推出群的条件

注意，{e,a,b,ab}是一个群，因为任意的元素都是二姐元素的群一定是交换群。因为ab=a−1b−1=(ba)−1=baab=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}=baab=a−1b−1=(ba)−1=ba

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