Curvelet变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进，其特点是有高度的各向异性，具有良好表达图形沿边缘的信息的能力，对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势。

其过程为

这和传统的DFT及小波变换的处理过程类似，把图表中的curvelet换成DFT和wavelet就可以了。

Curvelet变换是最近图像处理较新的一种多尺度几何变换算法。其发展历程在短短十年间：

1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波(Curvelet)变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。

2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。

2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet变换。

2005年，Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法：

1)非均匀空间抽样的二维FFT算法(Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT)；

2)Wrap算法(Wrapping-Based Transform)

与小波变换类似，Curvelet变换同样有其对应公式。Curvelet系数可由下式得到，即信号与小波函数内积：

这里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。变换的推导以及原理是个十分复杂的过程，这需要有相当强的数学功底。

Curvelet变换原理

Curvelet 变换通过对Radon 域内的每一个投影轴作一维小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度结构。设参量θ是常数，平移量1是变量，脊波系数R，(a，b，θ)为

然后对每个分块用式(1，2)进行脊波分析。上面每步均可逆，经过逆变换可得重建图像。

通过Radon域的多角度投影，Curvelet变换明显加强了目标边界。同时由于Curvelet变换是多尺度脊波变换的子集，它可以用投影切片定理来实现：一幅n&TImes;n的图像可表达成2n条径向线的积分结果，对每条线的投影数据计算一维小波变换，就得到脊波系数。这样的Curvelet变换冗余因子达到16J+1。由于经典算法中分块的径向抽样角度恒定，直角坐标与极坐标的转换将导致在同一块内数据的非均匀抽样，当块中心附近的抽样值满足奈奎斯特抽样定理要求时，在块的边界部分将出现欠抽样;而当块边界部分满足抽样定理要求时，块中心部分数据将会过抽样，而且块的尺寸越大，非均匀抽样的影响就越明显。因此，在原算法中尽管离散Curvelet变换的实现较简单，但是为了无失真地重构图像，保证块边界周围的抽样值足够多，它在块的中心部分实施了过抽样，因此耗时和冗余度也相应增大。

下面是对Curvelet变换的理解：

在时间域：Curvelet变换可以看做是一个椭圆以内积形式依次覆盖整个矩阵(指要变换的矩阵)，这个图在很多地方都出现过。就我个人的理解详细解释下。

这里的椭圆就是Curvelet变换的窗口，相当于小波变换的基函数。其长轴与短轴关系为平方关系，其窗口大小视尺度j而定。与二维小波变换最大的优势在于Curvelet变换具有方向性。就是在尺度j下，椭圆做完整个矩阵的内积后(即依次覆盖完整个矩阵)，可得到一组系数。然后将椭圆进行旋转适当的角度a再与矩阵做内积得到a角度的Curvelet系数。这样将椭圆进行多次旋转，每旋转一个角度就能得到尺度j一个方向的系数矩阵。在尺度j下做L次旋转，那么尺度j下就产生L个角度的系数矩阵。做完尺度j了接下来做尺度j+1下所有角度，方法同上。

如一幅图像上有一段弧，椭圆长轴沿着弧方向做覆盖内积得到的系数就大。这样就适合做图像边缘检测。

对于Curvelet变换的Matlab程序包curvlab可在网上下载。Curvlab包里有Curvelet的快速离散算法的Matlab程序和C++程序。

将其添加在Matlab里面：File -》 set path

Add Folder 添加好curvlab里相关*. M文件的路径。

这时在Matlab里面使用Curvelet的快速变换及反变换函数：

fdct_usfft()

ifdct_usfft()

fdct_wrapping()

ifdct_wrapping()

在Matlab中Curvelet变换后返回的是一个cell矩阵。这个矩阵装着各个尺度、各个方向的系数值。

C= fdct_usfft(***)；

C{j}表示一个cell矩阵，装着尺度j上所有方向的系数。

C{j}{l}就表示是一个二维矩阵，表示尺度j，方向l上的所有系数，

一般尺度越高，其对应的都是高频系数。

curvelet matlab示例代码理解

1. fdct_wrapping

funcTIon C = fdct_wrapping(x， is_real， finest， nbscales， nbangles_coarse)

% fdct_wrapping.m - Fast Discrete Curvelet Transform via wedge wrapping - Version 1.0

%

% Inputs

% x M-by-N matrix 输入为MxN的矩阵

%

% OpTIonal Inputs

% is_real Type of the transform 转化的类型

% 0： complex-valued curvelets 复数值的曲波变化

% 1： real-valued curvelets 实数值的曲波变化

% ［default set to 0］ 默认设置为0

% finest Chooses one of two possibiliTIes for the coefficients at the

% finest level： 选择一种表示方式计算最优级的系数

% 1： curvelets 曲波变化

% 2： wavelets 小波变化

% ［default set to 2］ 默认设置为2

% nbscales number of scales including the coarsest wavelet level

% 包含最粗小波级在内的伸缩数

% ［default set to ceil(log2(min(M，N)) - 3)］

% nbangles_coarse

% number of angles at the 2nd coarsest level， minimum 8，

% 第二粗糙级的角度数，最小为8

% must be a multiple of 4. ［default set to 16］

% 必须为4的倍数，默认为16

% Outputs

% C Cell array of curvelet coefficients.

% C{j}{l}(k1，k2) is the coefficient at

% - scale j： integer， from finest to coarsest scale，

% 从最佳尺度到最粗尺度

% - angle l： integer， starts at the top-left corner and

% increases clockwise，

% 从左上角开始顺时针增长

% - position k1，k2： both integers， size varies with j

% and l.

% If is_real is 1， there are two types of curvelets，

% ‘cosine’ and ‘sine’。 For a given scale j， the ‘cosine’

% coefficients are stored in the first two quadrants (low

% values of l)， the ‘sine’ coefficients in the last two

% quadrants (high values of l)。

%

% See also ifdct_wrapping.m， fdct_wrapping_param.m

%

% By Laurent Demanet， 200412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

2. DCT基本示例代码理解

% fdct_wrapping_demo_basic.m -- Displays a curvelet both in the spatial and frequency domains.

m = 1024;

n = 1024;

X = zeros(m，n);

%forward curvelet transform

disp(‘Take curvelet transform： fdct_wrapping’);

tic; C = fdct_wrapping(X，0，2，8，64); toc; %tic toc配合使用测量程序运行时间

%specify one curvelet

s = 7; %从1开始增大，空间域变细，频率域变粗

w = 10;%从1(左上角)开始增大，空间域顺时针旋转，与笛卡尔corona相对应

［A，B］ = size(C{s}{w});%尺度为s，方向为w，的矩阵大小

a = ceil((A+1)/2);

b = ceil((B+1)/5);

C{s}{w}(a，b) = 1; %该尺度、方向中心位置元素设置为1

%adjoint curvelet transform

disp(‘Take adjoint curvelet transform： ifdct_wrapping’);

tic; Y = ifdct_wrapping(C，0); toc;%进行反曲波变化，得到空间域图像

%display the curvelet

F = ifftshift(fft2(fftshift(Y)));

subplot(1，2，1); colormap gray; imagesc(real(Y)); axis(‘image’); 。。。

title(‘a curvelet： spatial viewpoint’);

subplot(1，2，2); colormap gray; imagesc(abs(F)); axis(‘image’); 。。。

title(‘a curvelet： frequency viewpoint’);

%get parameters

［SX，SY，FX，FY，NX，NY］ = fdct_wrapping_param(C);