题目

正解

有个比较显然的思路是给特殊点划分到ccc个集合中（集合可以为空）。
先解决一个子问题：一条链，两端相同和两端不同的答案分别是什么。
这个东西可以简单递推，然后用矩阵乘法优化。
题解中有个结论：两端相同：(c−1)len+(−1)len(c-1)^{len}+(-1)^{len}(c−1)len+(−1)len；两端不同：(c−1)len+(−1)len+1(c−1)(c-1)^{len}+(-1)^{len+1}(c-1)(c−1)len+(−1)len+1(c−1)
不要问我为什么，我也不会证。

考虑一个集合中的每个点的贡献。钦定顺时针方向连边（计算链的贡献），每条边的贡献挂在始点处。于是对于一个点而言，如果它顺时针的下一个点和它同在一个集合内，那就有两端相同的贡献；如果不同在一个集合内，那就有两端不同的贡献。
贡献算完了，我们发现剩下的就是个子集卷积。子集卷积有个很经典的问题：如何保证或卷积的子集没有交？
一种方法是像昨天那题一样枚举划分。但是复杂度要乘上划分数，不划算（gmh77就是这么写了，TLE90分）。
介绍一种新的方法：
将[0,2k)[0,2^k)[0,2k)的数组FFF中，每个位置存一个多项式。FS=x∣S∣∗S的贡献F_S=x^{|S|}*S的贡献FS=x∣S∣∗S的贡献。
这样在子集卷积的过程中，xxx的指数也在相加。这样子集大小始终是小于等于xxx的指数的。当子集大小等于xxx的指数的时候，不就是保证了子集之间没有交吗？
于是我们搞出这样的FFF，然后卷ccc次FFF，就可以搞到我们要的东西。

这样处理之后，对FFF做一遍FWTFWTFWT。由于FWTFWTFWT中没有多项式乘法，所以时间复杂度为O(k22k)O(k^2 2^k)O(k22k)。
接下来对每个位置求它的ccc次方。求ccc次方可以先lnlnln再expexpexp求。
这里kkk那么小写MTTMTTMTT肯定不划算。于是就有了O(k2)O(k^2)O(k2)暴力求lnlnln和expexpexp的方法：
考虑求expexpexp，设g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)}g(x)=ef(x)
则g′(x)=ef(x)f′(x)=g(x)f′(x)g'(x)=e^{f(x)}f'(x)=g(x)f'(x)g′(x)=ef(x)f′(x)=g(x)f′(x)
可以推出ngn=∑i=1nifign−ing_n=\sum_{i=1}^nif_ig_{n-i}ngn=∑i=1nifign−i
发现gng_ngn是从g1..n−1g_{1..n-1}g1..n−1推过来的，于是直接递推即可。
移项就可以得到lnlnln的递推式：nfn=gn=∑i=1n−1ifign−inf_n=g_n=\sum_{i=1}^{n-1}if_ig_{n-i}nfn=gn=∑i=1n−1ifign−i
对2k2^k2k个多项式求乘方，时间复杂度O(k22k)O(k^2 2^k)O(k22k)。

搞完之后取出xkx^kxk项，然后做IFWTIFWTIFWT即可。由于我们只需要全集（即2k−12^k-12k−1）的答案，所以可以直接O(2k)O(2^k)O(2k)容斥得到。

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define ll long long
#define K 20
#define mo 1000000007
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){ll r=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)if (y&1)r=r*x%mo;return r;
}
ll inv[K+1];
ll n,c;
int k,m;
ll a[K],len[K];
int id[K],re[K];
bool cmpid(int x,int y){return a[x]<a[y];}
ll h[K][2];
struct Matrix{ll m[2][2];
};
void operator*=(Matrix &a,Matrix b){static Matrix c;for (int i=0;i<2;++i)for (int j=0;j<2;++j){ll sum=0;for (int k=0;k<2;++k)sum+=a.m[i][k]*b.m[k][j];c.m[i][j]=sum%mo;}memcpy(&a,&c,sizeof c);
}
void getpow(Matrix &x,ll y){static Matrix r;r={1,0,0,1};for (;y;y>>=1,x*=x)if (y&1)r*=x;memcpy(&x,&r,sizeof r);
}
void calc(ll n,ll f[]){static Matrix T;T={(c-2)%mo,1,(c-1)%mo,0};getpow(T,n);f[1]=1*T.m[1][1];//[0 1]*Tf[0]=1*T.m[0][1];//[1 0]*T
}
bool e[K][K];
int cnt[1<<K];
int dp[1<<K];
int f[1<<K][K+1],g[1<<K];
void fwt_or(int f[][K+1],int n){for (int i=1;i<1<<n;i<<=1)for (int j=0;j<1<<n;j+=i<<1)for (int k=j;k<j+i;++k)for (int t=0;t<=n;++t)(f[k+i][t]+=f[k][t])%=mo;
}
void getexp(int f[],int n){static int g[K+1];g[0]=1;for (int i=1;i<=n;++i){ll sum=0;for (int j=1;j<=i;++j)(sum+=(ll)j*f[j]%mo*g[i-j])%=mo;sum=sum*inv[i]%mo;g[i]=sum;}memcpy(f,g,sizeof(int)*(n+1));
}
void getln(int g[],int n){static int f[K+1];f[0]=0;for (int i=1;i<=n;++i){ll sum=0;for (int j=1;j<i;++j)(sum+=(ll)j*f[j]%mo*g[i-j])%=mo;sum=((ll)i*g[i]%mo-sum+mo)%mo*inv[i]%mo;f[i]=sum;}memcpy(g,f,sizeof(int)*(n+1));
}
int getpow(int f[],int n,ll c){getln(f,n);c%=mo;for (int i=0;i<=n;++i)f[i]=(ll)f[i]*c%mo;getexp(f,n);return f[n];
}
int main(){freopen("chess.in","r",stdin);freopen("chess.out","w",stdout);scanf("%lld%d%d%lld",&n,&k,&m,&c);for (int i=0;i<k;++i){scanf("%lld",&a[i]);--a[i];id[i]=i;}inv[1]=1;for (int i=2;i<=k;++i)inv[i]=(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;sort(id,id+k,cmpid);for (int i=0;i<k;++i)re[id[i]]=i;for (int i=1;i<=m;++i){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);--u,--v;u=re[u],v=re[v];e[u][v]=e[v][u]=1;}sort(a,a+k);for (int i=0;i<k;++i){int j=(i+1)%k;len[i]=(a[j]-a[i]+n)%n;if (len[i]==1)e[i][j]=e[j][i]=1;calc(len[i],h[i]);}dp[0]=1;for (int i=0;i<k;++i)for (int s=0;s<1<<i;++s)if (dp[s]){bool ok=1;for (int t=0;t<k && ok;++t)if (s>>t&1 && e[i][t])ok=0;if (ok==0)continue;dp[s|1<<i]=1;}for (int s=0;s<1<<k;++s){cnt[s]=cnt[s>>1]+(s&1);if (dp[s]){ll pro=1;for (int i=0;i<k;++i)if (s>>i&1){int j=(i+1)%k;(pro*=h[i][s>>j&1])%=mo;}f[s][cnt[s]]=pro;}}fwt_or(f,k);for (int s=0;s<1<<k;++s)g[s]=getpow(f[s],k,c);ll ans=0;for (int s=0;s<1<<k;++s)ans+=(k-cnt[s]&1?-1:1)*g[s];ans=(ans%mo+mo)%mo;printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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