幂级数和函数经典例题_幂级数求和函数的类型与解法.pdf
幂级数求和函数的类型与解法
京电力高等专科学校学报
No. 9.2010 教育研究 D
幂级数求和函数的类型与解法
邓俊兰 李 鑫
(南阳师范学院数学与统计学院，河南 南阳 473061)
要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。
关键词：幂级数；和函数；几何级数
中图分类号：O 1-0 文献标识码：A 文章编号：1009-0 118(20 10)-09-0137-02
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的 因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①、④的
和函数是一类难度较 、技巧性较强的问题，对于学生来说 求解过程。
是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行 解①(法一)收敛域为(-1，1),对级数逐项积分再逐项求
究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算 导：
(恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常
。
用级数，特别是几何级数(又叫等比级数) )，求出转化后
则 (- 1< <1)。
的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂
(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：
级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常
(- 1< <1)
见类型，并给出了各种类型下的解法。
一、类型一：通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 ④(法一)收敛域为(-1，1)，在收敛域内对级数先逐项积
函数 分两次，再逐项求导两次求之：
计算幂级数的和函数，首先要牢记常用级数的和函数，
在此基础上，借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换
等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求
则 (- 1< <1)
和函数。其中，常用级数的和函数为： , ,
, , . 所以 (- 1< <1)
例 1 求 的和函数 。 (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导
解：容易求得收敛域为( ，+ ), 则和函数 定义域 数而求之：
为( ，+ )。
(- 1< <1)
,
(三)结论： (-1< <1) (1)
( <
(- 1< <1) (2)
二、类型二：求 的和函数 ，其中 为 的多
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