MMSE (Minimum Mean Square Error)均衡原理讲解

MMSE是一种将接收数据的MSE（均方误差）最小化的模型。有了这句话，很多问题就会在你的脑海中蹦出来。
什么是均方误差？最小化MSE "的物理含义是什么？等等。
让我们从一个我们现在已经非常熟悉的信道模型开始。(我希望你现在也熟悉下面的表达方式。)

MMSE作为一种均衡器，是一种后处理算法，它可以帮助我们找出接收到的数据，使之尽可能地接近原始数据（传输数据）。简而言之，MMSE中最重要的步骤是找到一个如下图所示的矩阵G。如果我们假设没有噪声，这个[G]矩阵可以简单的作为信道矩阵（H^-1）的倒数。但是当有噪声时，我们就需要使用一些能够反映噪声的模型。MMSE就是其中的一种算法。

现在，我们设定了一个目标，意味着我们有一种目标函数要解。然后，我们需要想办法解决目标函数。有几种不同的方法来达到解决。我会采取的方法是解下面的方程。
当我第一次知道这个方程时，我的第一个问题是这个方程的含义是什么。如果你仔细看一下，你就会发现，这些方程表示一个特定的条件，即接收到的数据向量和误差向量之间没有相关性。

我的下一个问题是'这个特定的条件如何成为最小化误差MSE的条件？"，简而言之就是 "这怎么能成为MMSE的条件？"。
在MMSE中，矩阵G应是这样一个利用接收信号的统计特性使MSE最小化的矩阵。如果 "y "和 "e "之间还存在一定的相关性，那么就应该能够利用这种相关性来降低 "e "的模。因此，在最佳点，"y "和 "e "之间应该没有相关性。 (如果不存在的话，我们应该可以通过利用相关性来进一步降低 "e "的模。)
这就是为什么我们可以利用接收信号 "y "和误差 "e "之间的相关性为零的标准来推导出MMSE最优矩阵G的原因。
当你理解了它的物理（或统计）意义后，剩下的步骤就是高中数学了。我给你的一个建议是'在没有达到最终解之前，不要过多考虑解题过程中的物理意义'。大部分中间步骤都是纯粹的数学操作，大多数情况下没有具体的物理意义。当然，在某些情况下，我们需要考虑物理意义，例如在解题过程中删除一些项时。但在大多数情况下，这个解题过程只是数学上的操作。
首先，你可以把给我们的目标方程展开，如下图所示的过程。不要害怕，只要拿出一张纸和一支笔，动手写下每一步。你会发现这真是一门高深的数学。

现在我们有了矩阵[G]，用E{ }的两个块表示。让我们进一步展开这两块的每一块。
那么你可能会问为什么要做更多的扩展？为什么我们不能用这个结果作为解？
要使用这个结果作为解，你需要知道方程中的所有数值。
让我们来看看这个方程中的每一项（上面最后一行），并检查我们是否知道所有的值。
我们能知道[y]向量的值吗？是的，因为它是最先被接收机检测/测量到的值。
那[x]向量呢？它是传输的数据。如果这个传输数据是一个参考信号，我们可以说我们知道这个值，但如果它是用户数据，我们不知道这个值。

现在我们把E{ }块逐一展开。让我先用第二个E{ }块试试。(我为什么要先展开第二个块，这没有什么特别的原因。我就是这么做的:)。在这个过程中，你会看到一些用颜色标记的被删除，取而代之的是其他更简单的形式。这是基于物理特性。没有纯粹的数学原因让你可以删除或替换这些。

现在我们有了表达式，它是由我们已知的值组成的。[H]是信道矩阵。我们假设我们在信道估计过程中已经算出了这个矩阵。我们知道P，因为我们确定了传输功率。那 "噪声方差 "呢？我们不可能知道每一个接收到的数据所增加的确切噪声值，但是我们可以计算出噪声的长期统计特性。噪声的方差 "是噪声的一种长期统计特性。
接下来，我们来展开第一个E{ }块。可以展开如下图所示。在这个过程中，您也看到一些用颜色标记的部分被删除，并被其他更简单的形式所取代。这是基于这些项的物理特性

现在，我们已经有了两个E{ }块的展开形式，让我们用展开的表达式重写[G]矩阵，它变成了如下的形式。

可以看到，当没有噪声时，ZF（zeros forcing）均衡与MMSE均衡得出的结果是一致的

现在你可以看到整个[G]矩阵本身就是用所有已知值来表示的。在真正的DSP或FPGA中，要解决这个表达式，你可能需要进一步的操作（例如，矩阵分解），但仅仅是为了理解MMSE的概念，这就足够了。
在这一点上，即使你完成了这个漫长/无聊的数学过程，有一个大问题会是 "为了推导G，我们得出的结论是我们需要知道信道矩阵H。这时你就需要研究另一个复杂而枯燥的题目，叫做 "信道估计"。
注意：H在上式中的解释会根据系统的实现情况而有所不同。如果我们假设一个不做任何放大或预编码的系统，H只代表空中信道的属性，如图所示。但如果我们假设一个更现实的实现，进行一些预编码和放大，H表示一个包括预编码和放大属性的矩阵。数学上H可以表示为 "Amp * H * P"，其中Amp是放大，H是空中信道矩阵，P是预编码矩阵。

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