斐波那契问题——超生的母牛

题目：

假设农场种成熟的母牛每年只会生一头小母牛，并且永远不会死。第一年农场有一头成熟的母牛，从第二年开始，母牛开始生小母牛。每只小母牛3年之后成熟又可以生小母牛。给定整数N，求出N年后牛的数量。

分析：

首先第N-1年的牛都会活到第N年

所有成熟的牛都会生一头小牛，如何统计成熟的牛的数量？

成熟的牛数量 = 第 N-3 年所有的牛 C(N-3)

第N-1年到N年出生的牛数量 = 出生小牛的数量就是到第N年成熟母牛的数量，也就是C(N-3)

所有牛数量：C(N) = C(N-1) + C(N-3) C(1)=1 C(2)=2 C(3)=3

代码实现：

方法一：（暴力递归）

    public static int c1(int N) {if (N < 1) {return 0;}if (N == 1 || N == 2 || N == 3) {return N;}return c1(N-1) + c1(N-3);}

方法二：O(N)

    public static int c2(int N) {if (N < 1) {return 0;}if (N == 1 || N == 2 || N == 3) {return N;}int res = 3;int pre = 2;int pre2 = 1;int tmp = 0;int tmp2= 0;for (int i = 4; i <= N; i++) {tmp = res;tmp2 = pre;res += pre2;pre = tmp;pre2 = tmp2;}return res;}

方法三：

C(N) = C(N-1) + C(N-3) 是三阶递推数列。

矩阵阶乘方法 matrixPower() 参考博客：斐波那契数列问题

    public static int c3(int N) {if (N < 1) {return 0;}if (N == 1 || N == 2 || N == 3) {return N;}int[][] base = {{1,1,0},{0,0,1},{1,0,0}};int[][] res = matrixPower(base, N-3);return 3*res[0][0] + 2*res[1][0] + res[2][0];}

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