详解计算机运算 之 补码
数据在计算机中的存储并非我们在物理世界见到的那样，由于计算机只能存储二进制数，因此需要将十进制数转换成二进制数再进行存储，而转换后的二进制数的运算也面临许多问题，因此引入了反码和补码的概念！
在微机中，凡是有符号数都是采用补码表示，所以运算的结果也是用补码表示的。
为什么引入补码的概念呢？
因为在计算机中，对于二进制的算术运算可以将乘法运算转换为加法和左移运算，而除法则可转换为减法和右移运算，故加、减、乘、除运算最终可归结为加、减和位移 3种 操作来完成。
但在计算机中为了节省设备，一般只设置加法器而无减法器，这就需要将减法运算转化为加法运算，从而使计算器中的二进制四则运算最终变成加法和位移两种操作。
引入补码运算就是用来解决将减法运算转化为加法运算的。
数据的表示：基数 & 权
无论哪一种进制数的表示，都是由 基数和权的组合，
计算机中的符号数有3种表示方法，即 源码、反码、补码，它们均是由符号位和数值部分组成；
- 符号位的表示方法相同：即 1表示负数，0表示 正数；
1、原码
[X]原={X0≤X2n−1−X=2n−1+∣X∣X≤0\qquad \qquad [X]_原 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ 2^{n-1} - X =2^{n-1} + |X| \qquad X \leq0 \end{cases}[X]原={X0≤X2n−1−X=2n−1+∣X∣X≤0
机器数的最高位为符号位：0表示正号，1表示负号，其他部分是数的绝对值；
源码表示中的 0 有两种不同的表示形式，即 +0 和 -0；
[+0]原=00000000[+0]_原 = 0000\quad 0000[+0]原=00000000
[−0]原=10000000[-0]_原 = 1000\quad 0000[−0]原=10000000原码表示法的优点是：简单、易于理解，与真值间的转换较为方便，用原码实现乘除运算的规则比较简单；
原码表示法的优点是：进行加减运算时比较麻烦，要比较加减运算的两个数的符号、两个数的绝对值的大小，还要确定运算结果的正确的符号等；
2、反码
真值 X 的反码记为 [X]反[X]_反[X]反 。
[X]原={X0≤XX+{2n−1}X≤0\qquad \qquad [X]_原 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ X+ \{ 2^{n} -1 \} \qquad X \leq0 \end{cases}[X]原={X0≤XX+{2n−1}X≤0
- 对于正数而言，其表示方法同原码一样，即数值部分与真值相同；
- 对于负数而言，其反码的数值部分为真值的各位按位取反；
反码的性质：
在反码表示法中，机器数的最高位是符号位，0表示正数，1表示负号；
反码运算很不方便，数值 0 的表示也不唯一，因此在处理器中很少使用；
同原码一样，数0 也有两种表示形式；
[+0]反=00000000[+0]_反 = 0000\quad 0000[+0]反=00000000
[−0]反=11111111[-0]_反 = 1111\quad 1111[−0]反=11111111
3、补码
真值 X 的补码记为 [X]补[X]_补[X]补 。
[X]补={X0≤X2n−∣X∣X≤0\qquad \qquad [X]_补 = \begin{cases} X \qquad \qquad\qquad \quad 0 \leq X \\ 2^{n} - |X| \qquad \qquad X \leq0 \qquad\end{cases}[X]补={X0≤X2n−∣X∣X≤0
与原码和反码的表示法相同，机器数的最高位是符号位，0表示正号，1表示负号；
正数的补码与它的原码相同；而反码的补码等于其符号位不变，数值部分的各位按位取反 再加1；
数 0 的补码表示法是唯一的；
[+0]补=00000000[+0]_补 = 0000\quad 0000[+0]补=00000000
[−0]补=[−0]反+1=11111111+1=00000000[-0]_补 = [-0]_反 +1 =1111\quad 1111 +1 = 0000 \quad 0000[−0]补=[−0]反+1=11111111+1=00000000
SO [+0]补=[−0]补=00000000\qquad[+0]_补 = [-0]_补 = 0000 \quad 0000[+0]补=[−0]补=00000000对于8进制数而言，其取值范围是 -128 —+127；
4、补码的运算
- 补码的加法规则：[X+Y]补=[X]补+[Y]补[X+Y]_补 = [X]_补 + [Y]_补[X+Y]补=[X]补+[Y]补
- 补码的减法规则：[X−Y]补=[X]补−[Y]补=[X]补+[−Y]补[X-Y]_补 = [X]_补 - [Y]_补 = [X]_补 + [-Y]_补[X−Y]补=[X]补−[Y]补=[X]补+[−Y]补
注：
[−Y]补[-Y]_补[−Y]补 称为对补码数 [Y]补[Y]_补[Y]补 求变补；
变补的规则为：
- 对 [Y]补[Y]_补[Y]补 的每一位（包括符号位）按位取反加 1，则结果就是 [−Y]补[-Y]_补[−Y]补。
- 当然，也可以直接对 −Y-Y−Y 求补码，结果是一样的。
有符号数运算时的溢出判断
咋两个有符号数进行加减运算时，如果运算结果超出上述可表示的有效范围，就会发生溢出，使计算结果出错。
判断有符号数相加或异符号数相减时：
- 如果次高位向最高位有进位（借位），而最高位向上无进位（借位），则结果发生溢出；
- 反过来，如果次高位向最高位无进位（借位），而最高位向上有进位（借位），则结果也发生溢出；
对于 8位 二进制数，若 D6D_6D6 位产生的 进位（借位）记为 C6C_6C6，D7D_7D7 位产生的进位（借位）记为 C7C_7C7，那么：
- 在两个带符号二进制数相加或相减时，若 C6⊕C7C_6 \oplus C_7C6⊕C7 则结果产生溢出（⊕\oplus⊕ 是异或）；
无符号数 与 有符号数产生溢出的条件因各自可表示数的范围不同而不同。 - 无符号数的溢出判断仅看最高位向上是否有进位（借位）；
- 有符号数的溢出判断需要看次高位和最高位 两位的进位（借位）情况；
两位都产生进位（借位）或都没有产生进位（借位），则结果无溢出；
其中只有一位产生了进位（借位），则结果产生溢出，计算结果不正确；
运算时产生溢出，其结果肯定不正确，计算机对溢出的处理，一般是产生一个中断，通知用户采取某种措施；
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