牛客月赛60 F.被抓住的小竹(数学推式子)

牛客月赛60 F.被抓住的小竹(数学&推式子)

考虑枚举每个区间的贡献。

每个区间内所有的数都作为 x x x一次时的贡献和。

因为要求区间内 ≥ x \ge x ≥x数个数，那么区间内的数从小到大排序后，显然最大的数贡献是1、第二大的数贡献是2，依此内推。

因此对于长度为 l e n len len的贡献是 ∑ i = 1 l e n i = l e n ( l e n + 1 ) 2 \sum_{i=1}^{len}i=\dfrac{len(len+1)}{2} ∑i=1leni=2len(len+1)

因此我们可以枚举区间长度。

区间长度为 i i i的个数为 n − i + 1 n-i+1 n−i+1。

所以总贡献是： ∑ i = 1 n ( n − i + 1 ) × i ( i + 1 ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(n-i+1)\times \dfrac{i(i+1)}{2} i=1∑n(n−i+1)×2i(i+1)然后展开化简一波。

a n s = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 ans=\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} ans=24n(n+1)(n+2)(n+3)

是一个组合数的形式： a n s = C n + 3 4 ans=C_{n+3}^4 ans=Cn+34与排列无关。

因此可以提出来，然后 r e s = a n s × ∑ p i n v ( p ) res=ans\times\sum_pinv(p) res=ans×∑pinv(p)

求所有排列的逆序对和，可以这样考虑。

一共有 n ! n! n!个排列，对于一个两个数 i , j ( i < j ) i,j(i<j) i,j(i<j) 他们的贡献是对称的，也就是说有一半的 p o s i < p o s j pos_i<pos_j posi<posj，另一半是 p o s i > p o s j pos_i>pos_j posi>posj。因此贡献是 n ! 2 \dfrac{n!}{2} 2n!。

所有有序对总数是 n ( n − 1 ) 2 \dfrac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)

所以答案就是： C n + 3 4 n ! n ( n − 1 ) 4 = n 2 × ( n + 3 ) ! × ( n − 1 ) 96 C_{n+3}^4\dfrac{n!n(n-1)}{4}=\dfrac{n^2\times (n+3)!\times(n-1)}{96} Cn+344n!n(n−1)=96n2×(n+3)!×(n−1)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mod=1e9+7;
long long power(long long a,long long b){long long res=1;while(b){if(b&1)res=res*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return res;
}
long long inv(int x){return power(x,mod-2);
}
long long jc[2020200];
int main(){jc[0]=1;int n,i,j,k;for(i=1;i<=1e5+10;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;cin>>k;while(k--){long long x;cin>>x;cout<<x*x%mod*(x-1)%mod*jc[x+3]%mod*inv(96)%mod<<'\n';}
}

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