sylow子群与sylow定理和单群
sylow定理
∣ G ∣ = p l ∗ m , p 是 素 数 ， ( p , m ) = 1 |G|=p^{l}*m,p是素数，(p,m)=1 ∣G∣=pl∗m,p是素数，(p,m)=1
1. 整 数 k ≤ l , ∃ 所 有 的 p k 阶 子 群 , 并 且 将 p l 阶 群 称 为 s y l o w − p − 子 群 整数k\leq l,\exists 所有的p^{k}阶子群,并且将p^{l}阶群称为sylow-p-子群 整数k≤l,∃所有的pk阶子群,并且将pl阶群称为sylow−p−子群
G ∗ X − − − > X ， X 是 p k 阶 的 G 子 集 的 集 合 G* X--->X，X是p^k阶的G子集的集合 G∗X−−−>X，X是pk阶的G子集的集合
2. G 的 任 何 p k 阶 子 群 H 一 定 包 含 于 s y l o w − p − 子 群 的 共 轭 里 G的任何p^{k}阶子群H一定包含于sylow-p-子群的共轭里 G的任何pk阶子群H一定包含于sylow−p−子群的共轭里
H ∗ G / P − − − > G / P H* G/P--->G/P H∗G/P−−−>G/P
3. s y l o w − p − 子 群 的 个 数 为 k ， k ∣ m , k = 1 ( m o d p ) ; i f k = 1 , P ◃ G sylow-p-子群的个数为k，k|m,k=1(modp) ;if k=1,P \triangleleft G sylow−p−子群的个数为k，k∣m,k=1(modp);ifk=1,P◃G
G ∗ X − − − > X ， X 是 p l 阶 的 G 子 集 的 集 合 即 s y l o w − p − 子 群 ， 单 轨 道 ， 轨 道 上 元 素 的 个 数 等 于 ∣ G ∣ / ∣ F p ∣ , ∣ F p ∣ 正 规 化 子 G* X--->X，X是p^l阶的G子集的集合即sylow-p-子群，单轨道，轨道上元素的个数等于|G|/|F~p~|,|F~p~|正规化子 G∗X−−−>X，X是pl阶的G子集的集合即sylow−p−子群，单轨道，轨道上元素的个数等于∣G∣/∣F p ∣,∣F p ∣正规化子
单群
徐一鸿的《Group Theory in a nutshell for Physicists》：
在群论中，人们喜欢把那些没有非平凡不变子群的群称为“单群”，英文名叫“simple group”，看它的英文名你大概就能猜出来它的性质了。有一些群，它没有内部结构，不能分解成更基本的群的直乘形式，这样的群往往被称为“简单”群；而另外一些群，它有内部结构，它可以被看成更基本的群的直乘形式，而通过研究它的非平反不变子群我们就能得知它是由哪些更基本的群组成的。而这样的分解过程可以不断进行下去，直到找到一个最终为单群的不变子群为止。
举个最简单的例子吧，两个二元群可以通过群乘的方式变成一个四元群，二元群的元素分别为1和-1，而这两个二元群组成的四元群系统的元素共有四个（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），你能看出什么来？
（1，1）和（-1，-1）组成了一个子群并且是不变子群，这是一个二元群，而由这个不变子群的陪集所组成的群也是一个二元群。通过这样的方式，我们就知道了它的内部结构并且把它分解成两个二元群直乘的形式。
参考：
《代数学基础》
《Group Theory in a nutshell for Physicists》
https://www.zhihu.com/question/63046350/answer/204862498
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