无线系统（EEEN3006J-Wireless Systems）复习笔记 (2)
目录
前言：
Chapter 2: Some preliminaries before we study Maxwell’s equations
1. 向量代数（Vector algebra）
1.1 点乘（Dot product）
1.2 叉积（Cross product）
1.3 三重积（Triple product）
1.4 坐标系（Co-ordinate systems）
2. 向量演算（Vector calculus）
2.1 梯度（Gradient）
2.2 散度（Divergence）
2.3 旋度（Crul）
2.4 乘法规则（Product rules）
3. 亥姆霍兹定理（Helmholtz theorem）
4. 电势（Potentials）
5. 积分学（Integral calculus）
5.1 直线积分（Integration over a line）
5.2 电荷和电流 （Charge and current）
前言：
本笔记是基于北京都柏林学院2022年EEEN3006J-Wireless Systems课程课件总结出的笔记。任课教师为Dr. Declan Delaney.
•在这堂课中，我们将回顾一些用于电磁理论的数学。
•这将帮助你在接下来的几节课中理解麦克斯韦方程组。
•根据麦克斯韦方程，我们将最终描述天线的工作原理。
Chapter 2: Some preliminaries before we study Maxwell’s equations
1. 向量代数（Vector algebra）
1.1 点乘（Dot product）
两个向量A和B的点积（或标量积或内积）由下式给出：
或
1.2 叉积（Cross product）
可以使用右手法则获得点积的方向。
叉乘公式如下：
叉积计算平行四边形的面积，如图所示:
1.3 三重积（Triple product）
三重积公式如下：
三重积计算平行六面体的体积，如图所示：
1.4 坐标系（Co-ordinate systems）
•大多数人比较熟悉笛卡尔坐标。
•在本课程中，有时需要切换到球面极坐标或圆柱坐标以解决问题。
2. 向量演算（Vector calculus）
在处理电磁学时，我们更喜欢使用向量演算。
有三项重要的操作：
•梯度 •散度 •旋度
2.1 梯度（Gradient）
•适用于标量字段：
•呈现出每个点的坡度方向和陡度。
练习：
村庄附近以m为单位的山的高度由函数描述：
x是村庄以东的距离，单位为km，y是村庄以北的距离。
问：
a） 找到山顶。
b） 这座山有多高？
c） 我想在村子北边1公里和东边1公里处建一栋房子。这里的山有多陡？
d） 此时，斜坡的走向是什么？
2.2 散度（Divergence）
•在物理学的许多领域都很重要。
•稍后我们将讨论电通量。通量和散度都处理场的流动，但通量是在一个区域上定义的，而散度处理点。
散度公式为：
标量：没有方向。
–正散度 图像为发撒
–负散度 图像为汇聚
球坐标公式（Spherical co-ordinates）：
柱坐标公式（Cylindrical co-ordinates:）：
练习：
计算下列函数的散度：
2.3 旋度（Crul）
可以被定义为：
旋度的每个分量表示磁场在一个坐标平面内旋转的趋势。
练习：
计算旋度：
2.4 乘法规则（Product rules）
•梯度的旋度（Curl of Gradient）始终为零：
拉普拉斯算子（即梯度的散度,Divergence of Gradient）
我们可以使用这些来获得泊松方程(Poisson's equition)。(后面的博客中我们会讲到。)ヾ(ｏ･ω･)ﾉ
散度的梯度(Gradient of Divergence)减去拉普拉斯算子(Laplacian)就是旋度的旋度(Crul of Crul)。
3. 亥姆霍兹定理（Helmholtz theorem）
如果我们知道一个域的散度(divergence)和旋度(crul)，你能唯一地定义这个域吗？
–不，我们还需要边界条件。
•亥姆霍兹定理告诉我们，如果我们要求场在无穷远处为零，我们可以唯一地定义给定旋度(divergence)和散度(crul)的场。
4. 电势（Potentials）
如果一个场的旋度为零（我们会遇到很多场），那么这个场可以写成标量势的梯度。
5. 积分学（Integral calculus）
•线积分、面积分和体积积分
•微积分基本定理
•梯度的基本定理
•发散的基本定理
•卷曲的基本定理
•部件集成
5.1 直线积分（Integration over a line）
移动电荷a到b所做的总功
a到b每单位长度（直线方向）力的积分
5.2 电荷和电流 （Charge and current）
•电荷运动产生电流。
•电流单位为安培（A）
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