【高级数据库】第二章 第04讲 多维索引
【高级数据库】第二章 数据库索引
前面讲解了几种索引的数据结构，但这些索引键都是一维的。对于多维查询（例如查询同时满足两个键的记录），可以通过多次执行一维索引实现，但对于更加复杂的数据这种方法显然不可取，因此需要扩展多维索引。多维索引结构主要分为两类：
（1）类散列表：包括网格文件、分段散列；
（2）类树：包括多键索引、kd-树、四叉树、R-树。
最后我们会拓展一种特别的索引结构——位图索引。
第04讲 多维索引
1、多维数据的散列结构
多维数据的散列结构包括网格文件和分段散列，下面介绍网格文件：
1.1 网格文件
网格文件是一种改进单维索引的数据结构，根据查询的范围可以为每一个维度划分三个区域，形成网格状。假设有一个查询涉及到两个查找键 X , Y X,Y X,Y ，查询的范围为 X ∈ [ 40 , 55 ) , Y ∈ [ 90 , 225 ) X\in[40,55),Y\in[90,225) X∈[40,55),Y∈[90,225)，因此可以分别在两个维度上划分三个区域，形成九个网格，每个网格内存储的是符合 X , Y X,Y X,Y 所在范围内的记录，其指针指向对应的桶，假设桶中最大存储2个记录。如图所示：
左图为网格文件，一共划分9个区域，其中正中间区域即为查询的部分，右图表示每个网格对应的桶，所要查询的桶即为红色区域及对应的记录。
（1）网格文件的查询：当要查询指定范围的记录时，根据查询键的数量建立对应维度的网格文件，其次为每个区域设计或选择合适的散列函数，将次区域映射到对应的桶地址（或桶中第一个记录的地址），然后取出桶中全部数据即可。
（2）网格文件的插入：遵循查询方法的同时，需要向桶中插入新记录及键，如果桶未满则直接插入即可，否则需要解决溢出问题。
一般解决溢出问题，可以设置一个溢出块，即在桶的基础上扩充新的空间；另一种则是重新划分网格线。例如插入一个数据 ( X = 52 , Y = 200 ) (X=52,Y=200) (X=52,Y=200)，可知其所在中间的网格，但其空间已满，此时可以添加一个水平网格线 Y = 130 Y=130 Y=130 将该桶划分为两个。划分桶需要注意尽可能的减少空桶的数量（完全不产生空桶是不可能的，因此需要尽可能减少），如图：
1.2 分段散列
分段散列通常是设计一个散列函数可以对多维数据同时进行索引。例如二维数据 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，通常设计一个散列函数 h ( X , Y ) h(X,Y) h(X,Y) 将两个键分别转换为二进制表示。设散列值维度为 k k k ，对应的键分别为 h ( X ) , h ( Y ) h(X),h(Y) h(X),h(Y) 维度为 k X , k Y k_X,k_Y kX,kY ，且有 k X + k Y = k k_X+k_Y=k kX+kY=k 。例如对于如下8个二维键：
其中第一个键 X X X 我们划分0表示奇数和1表示偶数，第二个键 Y Y Y 划分模4的余数，0表示余数为0，1表示余数为1，2表示余数为2，3表示余数为3，因此可以组合为三个二进制数。例如对于 ( 25 , 60 ) (25,60) (25,60) 则有 h ( 25 , 60 ) = 100 h(25,60)=100 h(25,60)=100。所有数据的索引图如图所示：
可以发现，分段散列表可以使用链地址法存储，左侧表示数组，数组下标恰巧为二进制键值的十进制表示，数组存储指向对应桶的指针，每个结点可以是固定尺寸的存储快，也可以用链表依次相连。
2、多维数据的树结构
除了散列结构外，树结构也可以用于多维数据的索引，包括四种树形结构：多键索引、kd-树、四叉树和R-树。前三种用于点集，R-树用于点集或区间集。
2.1 多键索引
多键索引是指在树上对每个结点设置索引的数据结构。假设有二维键 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，则根结点是第一个键 X X X 的索引，其次第二层上的结点则是 Y Y Y 对应的索引。如图所示：
例如查询 ( X = 50 , Y = 120 ) (X=50,Y=120) (X=50,Y=120) 的记录，首先在根结点查询键为50的指针，其次根据指针索引第二层第四个树结点，在依次进行匹配。如果维数超过2维，则在基础上继续添加一层用于对第三个键添加索引。此存在一个问题是树根结点默认的为键 X X X 设置索引，而如若首先查询 Y Y Y 的键，则只能在第二层一个个查询了。
2.2 kd-树
kd-树是一种将二叉搜索树推广到多维数据的数据结构，其每个内结点只代表一个属性（键），左右孩子分别是对应属性（键）根据某一个值划分的两部分。如图：
这是一个二叉排序树，也非常像机器学习中的决策树，其最终的记录全部存在叶子结点上。如若插入一个新记录，首先进行查找，如果找到其所在额叶子结点对应的桶中还有空间，则插入，否则执行结点分裂，这与【B-树】一节的插入操作一样。
2.3 四叉树
四叉树相比于kd-树来说划分的角度不同。kd-树是每个结点仅划分一个属性，而四叉树是划分多个属性的组合。例如二维键 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) ，四叉树的每个内部结点则是根据当前的值 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 划分四个区域，按照坐标象限的顺序定义，分别为
I : { ( x , y ) ∣ x > X , y > Y } \text{I}:\{(x,y)|x>X,y>Y\} I:{(x,y)∣x>X,y>Y}
II : { ( x , y ) ∣ x ≤ X , y > Y } \text{II}:\{(x,y)|x\leq X,y>Y\} II:{(x,y)∣x≤X,y>Y}
III : { ( x , y ) ∣ x ≤ X , y ≤ Y } \text{III}:\{(x,y)|x\leq X,y\leq Y\} III:{(x,y)∣x≤X,y≤Y}
IV : { ( x , y ) ∣ x > X , y ≤ Y } \text{IV}:\{(x,y)|x>X,y\leq Y\} IV:{(x,y)∣x>X,y≤Y}
最终叶子结点存储对应的桶，假设桶最大存储空间为2。
当然如果当前结点划分后区域内已经满足小于等于2个记录，则终止划分，否则继续划分。如图所示：
这是一个四叉树的划分图，第一次划分以 ( X = 50 , Y = 200 ) (X=50,Y=200) (X=50,Y=200) 点对应的四个区域，其中 I I I 和 I I I III III 象限内恰巧有两个记录，则停止划分，另两个结点对应超过2个记录，因此继续划分。一个维度上的划分点取当前区间范围内的中位数。
2.4 R-树（区域树）
R-树是可以查询指定一个区域，其每个结点表示一个区域范围，且这个结点的子结点区域是这个结点区域的子集，所有子结点的区域可重叠。例如：
外面的实线框表示R-树中的一个内部结点，该结点存储两个坐标（左上角和右下角的坐标），其子结点包含四个（相当于四个孩子结点），每个子结点与这个结点一样存储两个坐标。因此四个孩子结点表示的区域为虚线框。叶子结点也表示一个区域，这个区域内对应的内容即为记录。
当查询一个指定区域时，即可通过坐标大小比较方法缩小区域，直到找到指定的叶子结点。若在指定区域内插入一个记录，则首先进行查询，若叶子结点对应的桶有空余空间，则直接插入，否则需要分裂叶子结点，分裂方法与前述一样。
另一种索引用于描述多维数据的方式是位图索引。位图索引目标是为指定字段相应不同取值进行向量化表示。
3、位图索引
假设一文件包含记录 n n n 个，字段（属性） m m m 个，所有记录中第 k k k 个字段可有 m k m_k mk 个取值。因此对于第 k k k 个字段的第 t t t 个取值可用0-1向量表示，其中第 i i i 位为1表示第 i i i 个记录当前字段取第 t t t 个值；0表示不取该值。
例如一文件包括两个字段 A , B A,B A,B，分别取值范围为 A = { 1 , 2 , 3 } A=\{1,2,3\} A={1,2,3}， B = { a , b , c } B=\{a,b,c\} B={a,b,c}。一共有6个记录，分别是 ( 2 , c ) , ( 3 , c ) , ( 2 , a ) , ( 3 , b ) , ( 1 , b ) , ( 2 , a ) (2,c),(3,c),(2,a),(3,b),(1,b),(2,a) (2,c),(3,c),(2,a),(3,b),(1,b),(2,a)。于是字段 A A A 的位图索引为：
| 字段A取值 | 向量 |
|---|---|
| 1 | 000010 |
| 2 | 101001 |
| 3 | 010100 |
可发现当所有取值对应的向量做按位或运算后将变成全1向量，其表示的含义是当前字段 A A A 取任意值，而任意几个取值对应的向量按位或，就代表对字段 A A A 的范围查找。例如查找 A A A 取值在2-3之间的所有记录，则可以直接将向量101001和010100按位或运算，得到111101，即满足的记录的编号有1、2、3、4、6。
若多个键联合查询，则对应每个字段满足条件的值对应的向量按位或运算，不同键之间根据逻辑进行运算，例如查询 w h e r e A = 2 / 3 and B = b where A=2/3 \textbf{and} B=b whereA=2/3andB=b，则分别对A和B字段按位或，得到的两个向量按位与运算，若查询 w h e r e A = 1 or B ! = b where A=1 \textbf{or} B!=b whereA=1orB!=b，则对A按位或，对除B=b外按位或，得到的两个向量再按位或。因此可发现位图索引可以满足多关键字范围查找，仅需要向量的按位或或按位与运算。
上一讲：散列表
下一讲：查询执行
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