本文来自初升高暑假期间的某菜鸡~

将任意几个矢量并写在一起，称之为并矢。形如：

，就是一个并矢。

下面定义并矢的点积：

1.矢量与并矢点积

当矢量和并矢点积时，取与矢量最近的并矢中的矢量与其点积，余下部分仍做并矢。

如：

，

上式也反映了矢量与并矢的点乘不满足交换律

由点积的线性性质，知并矢对于矢量的点积应满足如下的线性性质：

(m

＋n

)·

=【(m

+n

)·

】

=m(

)

＋n(

)

2.并矢与并矢点积

当并矢与并矢点积时，取两并矢间最近的两个矢量做点积运算，如：

并矢还可以进行多次点积，此处给出二次点积。二次点积有两种形式：

并联式：

串联式：

在坐标系中，我们知道，一个矢量可以用其坐标来表示。同样的，一个并矢也同样可以由其坐标来表示。

首先，由上我们也可以总结并矢本身的几条性质：

1.结合律 m(

)=m

，(m

)(n

)=mn

2.分配律

然后就有：在坐标系中，

a

b

=a

b

，

所以我们可以把

的逆变分量写为：

=

(方便起见，接下来大部分采用二阶并矢来叙述(并矢中矢量有几个，就把这个矢量叫做几阶并矢))

由于并矢中，矢量的顺序调换会导致并矢的变化，所以定义：

并矢

的转置为

，记作

在分量上，转置体现在转置并矢的分量矩阵是原并矢的分量矩阵的转置。

接下来我们可以利用并矢来定义张量。

定义：各个分量和并矢的线性组合称为张量。特殊地，并矢也是一种张量。

如：张量

T

=T

=T

=T

，这里通过基矢量的和形式，来表示并矢，而形如T

的是前面的系数，叫做张量的分量，指标的选择则是为了使用爱因斯坦求和约定。张量并矢是几阶并矢，张量就是几阶张量。

注意：矢量是一个实体，它本身不随坐标系的改变而改变，并矢自然也一样，那么张量也同样不会因为坐标系的改变而改变。

在研究张量时，一般会研究T

形式的张量，(这类张量分量称为混变分量，其中的·无意义，仅用于区分位置)，但由于我们以后要研究圆锥曲线等几何对象，而混变分量形式的张量，几何意义不明显，下文讨论时，一律讨论协变或逆变分量形式的张量。

接下来讨论一些张量的性质：

与并矢类似的，有：

1.矢量与张量点积

当矢量和张量点积时，取与矢量最近的张量并矢中的矢量与其点积，余下部分仍做并矢。

如：

T

a

=T

a

，如果还要化简，可以把系数部分统记成P

，可见二阶张量和矢量点乘得到一个矢量。

2.张量与张量点积

当张量与张量点积时，取两张量并矢间最近的两个矢量做点积运算，如：

T

S

=T

S

，还要化简的话如上。可见二阶张量和二阶张量点乘得到一个二阶张量。

张量也可以进行多次点积，此处给出二次点积。二次点积有两种形式：

并联式：

T

S

T

S

串联式：

T

S

T

S

可见二阶张量和二阶张量二次点积得到一个实数。

研究张量时，我们同样可以采用矩阵的方法：把张量分量用矩阵展开表示。

[T

]=

(迫不得已的粗体)

类比于矩阵，我们有如下的定义：

1.转置张量

若

T

，则

=T

，在矩阵形式上，体现在转置张量的矩阵是原矩阵的转置矩阵。

2.对称张量

若T

T

,则称T为一个对称张量。在矩阵形式上，这体现在对称张量的矩阵是对称矩阵。

3.对称化 运算。

取

，称这种运算是对

的对称化。在矩阵上，体现在由原矩阵构造了一个新的对称矩阵。

接下来我们会讨论一下上节中的问题，并给出张量分量的转化关系。

1.张量分量的转化关系。

已知可记

=T

=T

,又T

=T

g

g

转换指标可得原式＝T

g

g

,所以有：

T

=T

g

g

,可见，张量分量是满足指标升降的规律的。

2.度量张量

g

=g

,它本身就已满足了指标升降规律。

可以证明：

指标运算作为一种重要的运算，需要读者掌握(下一节会牵扯大量的指标运算)

暂时就写到这。下节将会讨论置换符号和叉乘。在基本概念熟悉之后，我们将会关于圆锥曲线建模。