比武招亲（上）（思维+贡献法+组合数学隔板法详解)

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9985/B

思路:

首先贡献法考虑每个数作为最大值出现的次数和最小值出现的次数。

那么最终答案其实是xi作为最大数-xj作为最小数，是很多个这样的差累加。那么把左边的被减数合成一块，右边的减数合成一块。答案就变成了每个最大数*其出现的次数-每个最小数*其出现的数。

考虑1~n中挑一个x作为最大数。

那么1~x-1就是作为剩下的。我要在剩下的1~x-1中挑出可重复的数字构成m个不递减的。

公式为ccc(n+m-1,m);(n个数中取m个重复的数构成不递减

至于怎么证明，大致这么说明。

首先不考虑重复，那问题就相当于n个球分到m个盒子，用隔板法解决是C(m n-1)

然后由于可以空盒子不满足隔板条件，于是提前加m个球。这时候公式是C(m,n+m-1）

我们再来看两者答案的区别。

对于后面求得的答案，这时候我们保证里面每个盒子至少有一个球，我们再将其每个盒子里的球数统统-1，是不是就变成了可以有空盒子的情况。两者的情况的数量是一样的，所以答案等价的。

本题就是挑m-1个

隔板法博客插眼

#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<endl;
using namespace std;
const int maxn=5e5+1000;
typedef long long LL;
const LL mod=998244353;
inline LL read(){LL x=0,f=1;char ch=getchar();   while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;}
LL fac[maxn];
LL ksm(LL a,LL k){LL res=1;while(k>0){if(k&1) res=res*a%mod;k>>=1;a=a*a%mod;}return res%mod;
}
LL ccc(LL m,LL n){///ccc(4,3)if(n>m) return 0;return (fac[m]%mod*ksm(fac[n],mod-2)%mod*ksm(fac[m-n],mod-2)%mod)%mod;
}
///ccc(n+m-1,m);(n个数中取m个重复的数构成不递减
int main(void)
{cin.tie(0);std::ios::sync_with_stdio(false);fac[0]=1;for(LL i=1;i<maxn;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;LL n,m;cin>>n>>m;LL ans=0;for(LL i=1;i<=n;i++){LL temp1=i-1;LL temp2=n-i;ans=(ans%mod+i*ccc(temp1+m-1,m-1)%mod)%mod;ans=(ans%mod-i*ccc(temp2+m-1,m-1)%mod+mod)%mod;}cout<<ans%mod<<"\n";
return 0;
}

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