今天突然想讨论一下高等数学中一些中值定理的证明题的思路和方法

一.中值定理

1.1 中值定理介绍

中值定理是指将原函数与导数联系起来的重要定理，在进行一些公式推导与定理证明中都有重要作用。

例

1.2中值定理分类

《高等数学》中值定理主要分为下面几类

这里不再详细介绍这五个中值定理的内容和适用条件

1.3 前三个中值定理之间的关系

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理这三个中值定理之间密切相关：

二、高等数学中中值定理的证明题

解题的关键要点有两个：一是构造辅助函数，二是找到辅助函数函数值相等的两个端点。
构造辅助函数的方法：
1. 分析法

从题目所需要证明的结论出发，尝试从题目中寻找构造辅助函数的条件来构造辅助函数，下面从几个例题开具体说明一下

例一：

分析：观察到本题需证结论中存在一阶导数以及等式，故本题应构造辅助函数通过罗尔定理来求解

step1：寻找两端点相等且为零的条件.观察到：

step2:构造辅助函数

解析：

2.微分方程法

在题目结论为一阶线性微分方程的时候，可以采用更直接的微分方程法来构造辅助函数。将要证明的等式转化为微分方程，解出通解，然后移项，使等式右边只含有任意常数C，这样等式左边的函数就是要构造的辅助函数。以下面这道题来说明

例二：

我在求解这道题时用传统的分析法不太好求解，学了微分方程后再回来看这道题时，发现可以用微分方程来求解。

解析：

最后，以上内容均为本人在学习过程中的总结，如有错误还请指出

题目来源：《2022汤家凤数学接力经典1800》

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