傅里叶变换--快速傅里叶变换实现

0.1. 定义
- 0.1.1. 连续
- 0.1.2. 离散
0.2. 性质
- 0.2.1. 分离性
- 0.2.2. 位移定理
- 0.2.3. 周期性
- 0.2.4. 共轭对称性
- 0.2.5. 旋转性
- 0.2.6. 加法定理
- 0.2.7. 平均值
- 0.2.8. 相似性定理
- 0.2.9. 卷积定理
- 0.2.10. 相关定理
- 0.2.11. Rayleigh 定理
0.3. 快速傅里叶变换
- 0.3.1. 复数中的单位根
- 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算
0.4. 代码
0.5. 参考

图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
一般有如下变换方法

傅立叶变换Fourier Transform
离散余弦变换Discrete Cosine Transform
沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
斜变换Slant Transform
哈尔变换Haar Transform
离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
离散小波变换Discrete Wavelet Transform

这篇文章介绍一下傅里叶变换

0.1. 定义

0.1.1. 连续

积分形式
如果一个函数的绝对值的积分存在，即
∫−∞∞∣h(t)∣dt<∞\int_{-\infty} ^\infty |h(t)|dt<\infty ∫−∞∞∣h(t)∣dt<∞
并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值，函数的傅里叶变换存在

一维傅里叶变换
H(f)=∫−∞∞h(t)e−j2πftdtH(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{-j2\pi ft}dt H(f)=∫−∞∞h(t)e−j2πftdt
一维傅里叶逆变换
H(f)=∫−∞∞h(t)ej2πftdtH(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{j2\pi ft}dt H(f)=∫−∞∞h(t)ej2πftdt
同理多重积分

0.1.2. 离散

实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.

一维傅里叶变换
F(u)=∑x=0N−1f(x)e−2πjNuxF(u)=\sum_{x=0} ^{N-1} f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N} ux} F(u)=x=0∑N−1f(x)eN−2πjux
一维傅里叶逆变换
f(x)=1N∑u=0N−1F(u)e2πjNuxf(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0} ^{N-1} F(u)e^{\frac{2\pi j}{N} ux} f(x)=N1u=0∑N−1F(u)eN2πjux
需要注意的是，逆变换乘以 1N\frac{1}{N}N1 是为了归一化，这个系数可以随意改变，即可以正变换乘以 1N\frac{1}{N}N1, 逆变换就不乘，或者两者都乘以1N\frac{1}{\sqrt{N}}N1等系数。
二维傅里叶变换
F(u,v)=1N∑x=0N−1∑y=0N−1f(x,y)e−2πjN(ux+vy)F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} (ux+vy)} F(u,v)=N1x=0∑N−1y=0∑N−1f(x,y)eN−2πj(ux+vy)
二维傅里叶逆变换

f(x,y)=1N∑u=0N−1∑v=0N−1F(u,v)e2πjN(ux+vy)f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0} ^{N-1} F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N} (ux+vy)} f(x,y)=N1u=0∑N−1v=0∑N−1F(u,v)eN2πj(ux+vy)

幅度
∣F(u,v)∣=real(F)2+imag(F)2|F(u,v)| = \sqrt{real(F)^2+imag(F)^2} ∣F(u,v)∣=real(F)2+imag(F)2
相位
arctanimag(F)real(F)arctan{\frac{imag(F)}{real(F)}} arctanreal(F)imag(F)
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 D=log(∣F(u,v)+1)D= log(|F(u,v)+1)D=log(∣F(u,v)+1)

用 <=> 表示傅里叶变换对
f(x)<=>F(u)f(x,y)<=>F(u,v)f(x)<=>F(u)\\ f(x,y)<=>F(u,v) f(x)<=>F(u)f(x,y)<=>F(u,v)

f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H

F∗F^*F∗ 表示 FFF 的共轭

0.2. 性质

0.2.1. 分离性

F(x,v)=∑y=0N−1f(x,y)e−2πjNvyF(u,v)=1N∑x=0N−1F(x,v)e−2πjNux\begin{aligned} &F(x,v)=\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} vy}\\ &F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux} \end{aligned} F(x,v)=y=0∑N−1f(x,y)eN−2πjvyF(u,v)=N1x=0∑N−1F(x,v)eN−2πjux
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。下面在代码中就是这样实现的。

0.2.2. 位移定理

f(x,y)e2πjN(u0x+v0y)<=>F(u−u0,v−v0)f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_0x+v_0y)} <=>F(u-u_0,v-v_0) f(x,y)eN2πj(u0x+v0y)<=>F(u−u0,v−v0)
f(x−x0,y−y0)<=>F(u,v)e−2πjN(ux0+vy0)f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux_0+vy_0)} f(x−x0,y−y0)<=>F(u,v)eN−2πj(ux0+vy0)

0.2.3. 周期性

F(u,v)=F(u+N,v+N)F(u,v) = F(u+N,v+N) F(u,v)=F(u+N,v+N)

0.2.4. 共轭对称性

F(u,v)=F∗(−u,−v)F(u,v) = F^*(-u,-v)F(u,v)=F∗(−u,−v)
a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
d)偶分量函数在变换中不引入系数.

0.2.5. 旋转性

if f(r,θ)<=>F(ω,ϕ)f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi) f(r,θ)<=>F(ω,ϕ)
then f(r,θ+t)<=>F(ω,ϕ+t)f(r,\theta+t)<=>F(\omega,\phi+t) f(r,θ+t)<=>F(ω,ϕ+t)

0.2.6. 加法定理

Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g] Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]
2.
af(x,y)<=>aF[u,v]af(x,y)<=>aF[u,v] af(x,y)<=>aF[u,v]

0.2.7. 平均值

1N2∑x=0N−1∑y=0N−1f(x,y)=1NF(0,0)\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y) = \frac{1}{N}F(0,0) N21x=0∑N−1y=0∑N−1f(x,y)=N1F(0,0)

0.2.8. 相似性定理

尺度变换
f(ax,by)<=>F(ua,vb)abf(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab} f(ax,by)<=>abF(au,bv)

0.2.9. 卷积定理

卷积定义
1d
f∗g=1M∑m=0M−1f(m)g(x−m)f*g = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m) f∗g=M1m=0∑M−1f(m)g(x−m)
2d
f(x,y)∗g(x,y)=1MN∑m=0M−1∑n=0N−1f(m,n)g(x−m,y−n)f(x,y)*g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n) f(x,y)∗g(x,y)=MN1m=0∑M−1n=0∑N−1f(m,n)g(x−m,y−n)

卷积定理
f(x,y)∗g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)f(x,y)*g(x,y) <=> F(u,v)G(u,v) f(x,y)∗g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)
f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)∗G(u,v)f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v) f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)∗G(u,v)

离散卷积
用
∑i=0N−1x(iT)h[(k−i)T]<=>X(nNT)H(nNT)\sum_{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T] <=> X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT}) i=0∑N−1x(iT)h[(k−i)T]<=>X(NTn)H(NTn)
即两个周期为 N 的抽样函数，他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积

卷积的应用：
去除噪声，特征增强
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。

0.2.10. 相关定理

下面用$ \infty$ 表示相关。
相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量

相关函数的定义
离散
f(x,y)∞g(x,y)=1MN∑m=0M−1∑n=0N−1f∗(m,n)g(x+m,y+n)f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n) f(x,y)∞g(x,y)=MN1m=0∑M−1n=0∑N−1f∗(m,n)g(x+m,y+n)
连续
z(t)=∫−∞∞x∗(τ)h(t+τ)dτz(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau) h(t+\tau)d\tauz(t)=∫−∞∞x∗(τ)h(t+τ)dτ
定理
f(x,y)∞g(x,y)<=>F∗(u,v)G(u,v)f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v) f(x,y)∞g(x,y)<=>F∗(u,v)G(u,v)

0.2.11. Rayleigh 定理

能量变换
对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
E=∫−∞∞∣f(t)∣2dtE = \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt E=∫−∞∞∣f(t)∣2dt

其变换函数与原函数有相同的能量
∫−∞∞∣f(t)∣2dt=∫−∞∞∣F(u)∣2dt\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt ∫−∞∞∣f(t)∣2dt=∫−∞∞∣F(u)∣2dt

0.3. 快速傅里叶变换

由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 O(N2)O(N^2)O(N2)。

利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)的时间复杂度。

0.3.1. 复数中的单位根

我们知道，在复平面，复数 cosθ+isinθcos\theta +i\ sin\thetacosθ+i sinθk可以表示成 eiθe^{i\theta}eiθ，可以对应一个向量。θ\thetaθ即为幅角。
在单位圆中，单位圆被分成 2πθ\frac{2\pi}{\theta}θ2π 份，由单位圆的对称性
eiθ=ei(θ+2π)e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)} eiθ=ei(θ+2π)
现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ，即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量，记为ωn\omega _nωn，
其余的 n-1 个向量分别为 ωn2,ωn3,…,ωnn\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}ωn2,ωn3,…,ωnn ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
单位根的性质

这个可以用 e 表示出来证明
ω2n2k=ωnk\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k} ω2n2k=ωnk
可以写成三角函数证明
ωnk+n2=−ωnk\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k} ωnk+2n=−ωnk

容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}{0}=1 $。

对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 e2πinke^{\frac{2\pi i}{n}k}en2πik 。

0.3.2. 快速傅里叶变换的计算

下面的推导假设 n=2kn=2^kn=2k，以及代码实现 FFT 部分也是如此。

利用上面的对称性，
将傅里叶计算进行奇偶分组
F(u)=∑i=0n−1ωniuai=∑i=0n2−1ωn2iua2i+∑i=0n2−1ωn(2i+1)ua2i+1=∑i=0n2−1ωn2iua2i+ωnu∑i=0n2−1ωn2iua2i+1=Feven(u)+ωnuFodd(u)\begin{aligned} F(u)&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n ^{iu} a^i\\ &= \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{2iu} a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{(2i+1)u} a^{2i+1}\\ &=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i+1}\\ & = F_{even}(u)+\omega_n^u F_{odd}(u) \end{aligned} F(u)=i=0∑n−1ωniuai=i=0∑2n−1ωn2iua2i+i=0∑2n−1ωn(2i+1)ua2i+1=i=0∑2n−1ω2niua2i+ωnui=0∑2n−1ω2niua2i+1=Feven(u)+ωnuFodd(u)
FevenF_{even}Feven表示将输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， FoddF_{odd}Fodd 同理，这样就形成递推公式。
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的奇项，偶项利用起来，只计算前 n2−1\frac{n}{2}-12n−1项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。

对于 n2≤i+n2≤n−1\frac{n}{2}\leq i+\frac{n}{2}\leq n-12n≤i+2n≤n−1
F(ωni+n2)=Feven(ωn2i+n)+ωni+n2⋅Fodd(ωn2i+n)=Feven(ωn2i+n2)+ωn2i+n2⋅Fodd(ωn2i+n2)=Feven(ωn2i)−ωn2i⋅Fodd(ωn2i)\begin{aligned} F(\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}})&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\ &=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\ & =F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i}) \end{aligned} F(ωni+2n)=Feven(ωn2i+n)+ωni+2n⋅Fodd(ωn2i+n)=Feven(ω2ni+2n)+ω2ni+2n⋅Fodd(ω2ni+2n)=Feven(ω2ni)−ω2ni⋅Fodd(ω2ni)
现在很清楚了，在每次计算 a[0…n-1] 的傅里叶变换F[0…n-1]，分别计算出奇 odd[0…n/2-1]，偶even[0…n/2-1]（可以递归地进行），
那么傅里叶变换为：
F[i]={even[i]+ωi⋅odd[i],i<n2even[i]−ωi⋅odd[i],elseF[i] = \begin{cases} even[i]+ \omega^i \cdot odd[i], \quad i<\frac{n}{2}\\ even[i]- \omega^i \cdot odd[i], \quad else \end{cases} F[i]={even[i]+ωi⋅odd[i],i<2neven[i]−ωi⋅odd[i],else

0.4. 代码

下面是 python 实现
一维用 FFT 实现，不过只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我用O(n2)O(n^2)O(n2) 直接实现。

二维的 DFT利用分离性，直接调用一维 FFT。
GitHub

import numpy as npdef _fft(a, invert=False):N = len(a)if N == 1:return [a[0]]elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn),  2^keven = _fft(a[::2], invert)odd = _fft(a[1::2], invert)i = 2j if invert else -2jfactor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)prod = factor * oddreturn np.concatenate([even + prod, even - prod])else:  # O(n^2)w = np.arange(N)i = 2j if invert else -2jm = w.reshape((N, 1)) * wW = np.exp(m * i * np.pi / N)return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape((N, 1))))  # important, cannot use *def fft(a):'''fourier[a]'''n = len(a)if n == 0:raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")return _fft(a)def ifft(a):'''invert fourier[a]'''n = len(a)if n == 0:raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")return _fft(a, True) / ndef fft2(arr):return np.apply_along_axis(fft, 0,np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))def ifft2(arr):return np.apply_along_axis(ifft, 0,np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))def test(n=128):print('\nsequence length:', n)print('fft')li = np.random.random(n)print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))print('ifft')li = np.random.random(n)print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))print('fft2')li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))print('ifft2')li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))if __name__ == '__main__':for i in range(1, 3):test(i * 16)

0.5. 参考

万寿红老师课件
一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform
快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】

0.1. 定义
- 0.1.1. 连续
- 0.1.2. 离散
0.2. 性质
- 0.2.1. 分离性
- 0.2.2. 位移定理
- 0.2.3. 周期性
- 0.2.4. 共轭对称性
- 0.2.5. 旋转性
- 0.2.6. 加法定理
- 0.2.7. 平均值
- 0.2.8. 相似性定理
- 0.2.9. 卷积定理
- 0.2.10. 相关定理
- 0.2.11. Rayleigh 定理
0.3. 快速傅里叶变换
- 0.3.1. 复数中的单位根
- 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算
0.4. 代码
0.5. 参考