1. 应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题：

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

2. 克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法
基本思想：按照权值从小到大的顺序从中选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

3. 克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

3.1 克鲁斯卡尔算法图解

以上图为例，来对克鲁斯卡尔进行演示，用数组R保存最小生成树结果

第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

3.2 克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

3.3 如何判断是否构成回路

举例说明，如图在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2)因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们新加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

4. 代码实现

import java.util.Arrays;public class KruskalAlgorithm {// 边的个数private int edgeNum;// 顶点的个数private char[] vertexs;// 邻接矩阵private int[][] matrix;// 使用INF表示两个顶点不能连通public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};// 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};KruskalAlgorithm kruskalAlgorithm = new KruskalAlgorithm(vertexs, matrix);// 输出矩阵kruskalAlgorithm.print();kruskalAlgorithm.kruskal();}// 构造器public KruskalAlgorithm(char[] vertexs, int[][] matrix) {// 初始化顶点的个数int vlen = vertexs.length;// 初始化顶点this.vertexs = vertexs;// 初始化边this.matrix = matrix;// 统计边的条数，只需要统计矩阵右上三角形的值for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}// 打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为：");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();}}/*** 对边进行排序处理** @param edges 边的集合*/public void sortEdges(EData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {//交换EData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = tmp;}}}}/*** 查询ch顶点对应的下标，如果找不到返回-1** @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {return i;}}return -1;}/*** 获取图中的边，放到EData[]数组中，后面需要遍历数组* 通过matrix邻接矩阵获取* EData[]形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]** @return*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 获取下标为i的顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同** @param ends 记录各个顶点对应的终点是哪个，ends需要在遍历过程中逐步形成；如果ends[i]为0，则返回i本身* @param i    传入顶点对应的下标* @return 下标为i的顶点对应的终点的下标*/private int getEnd(int[] ends, int i) {// 这个循环可以找到以i为下标的顶点的最终的终点// 比如在准备添加边CE时，通过循环会发现c的终点是d（ends[2]=3，i被赋值为3），d的终点是f（ends[3]=5，i被赋值为5）// 但是ends[5]=0，则return 5，得到结果5，即c的终点是f；// 而e的终点ends[4]=5，即e的终点也是f// 而在遍历过程中形成ends[]时，只需要对当前边的头结点赋值终点，而不能对尾结点赋值终点// 因为ends[]中最终的终点是终点本身i，因为ends[i] != 0则会return iwhile (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}public void kruskal() {// 表示最后结果数组的索引int index = 0;// 用于保存已有最小生成树中每个顶点在最小生成树中的终点int[] ends = new int[vertexs.length];// 创建结果数组，保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[vertexs.length];// 获取图中所有边的集合EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length);// 按照边的权值大小进行排序（从小到大）sortEdges(edges);System.out.println("ends[]数组：");System.out.println(Arrays.toString(vertexs));// 遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路// 如果没有，就加入rets，否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取到第i条边的第一个顶点（头结点）int p1 = getPosition(edges[i].start);// 获取到第i条边的第二个顶点（尾结点）int p2 = getPosition(edges[i].end);// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点（如果不存在，则这个结点的终点就是它自己）int m = getEnd(ends, p1);// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点（如果不存在，则这个结点的终点就是它自己）int n = getEnd(ends, p2);// 如果没有形成回路，if (m != n) {// 将这条边加入到最小生成树的数组中rets[index++] = edges[i];// 然后把尾结点的终点赋值给头结点的终点，让头结点的终点指向尾结点的终点（即头、尾节点最终需要指向同一个结点）ends[m] = n;System.out.println(Arrays.toString(ends));}}//<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>// 统计并打印 最小生成树System.out.println("最小生成树为");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}}// 创建一个类用来表示一条边
class EData {// 边的头结点char start;// 边的尾结点char end;// 边的权值int weight;public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData{<" + start + ", " + end + "> =" + weight + "}";}
}

结果打印

邻接矩阵为：0          12  2147483647  2147483647  2147483647          16          1412           0          10  2147483647  2147483647           7  21474836472147483647          10           0           3           5           6  21474836472147483647  2147483647           3           0           4  2147483647  21474836472147483647  2147483647           5           4           0           2           816           7           6  2147483647           2           0           914  2147483647  2147483647  2147483647           8           9           0
图的边的集合=[EData{<A, B> =12}, EData{<A, F> =16}, EData{<A, G> =14}, EData{<B, C> =10}, EData{<B, F> =7}, EData{<C, D> =3}, EData{<C, E> =5}, EData{<C, F> =6}, EData{<D, E> =4}, EData{<E, F> =2}, EData{<E, G> =8}, EData{<F, G> =9}] 共12
[A, B, C, D, E, F, G]
[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0]
[0, 0, 3, 0, 5, 0, 0]
[0, 0, 3, 5, 5, 0, 0]
[0, 5, 3, 5, 5, 0, 0]
[0, 5, 3, 5, 5, 6, 0]
[6, 5, 3, 5, 5, 6, 0]
最小生成树为
EData{<E, F> =2}
EData{<C, D> =3}
EData{<D, E> =4}
EData{<B, F> =7}
EData{<E, G> =8}
EData{<A, B> =12}

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算法6：克鲁斯卡尔算法

目录

1. 应用场景-公交站问题

2. 克鲁斯卡尔算法介绍

3. 克鲁斯卡尔算法图解说明

3.1 克鲁斯卡尔算法图解

3.2 克鲁斯卡尔算法分析

3.3 如何判断是否构成回路

4. 代码实现

算法6：克鲁斯卡尔算法相关推荐

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