四元数算法 c语言,四元数算法运算规则及基本概念

【酷飞网 51kufei.com】上周，我们为大家介绍了求解求解无人机姿态角的各种算法，那么四元数算法基本的运算法则又是什么呢?今天，我们将为大家介绍四元数算法运算规则及基本概念。

大家知道，四元数可以表示三维空间的旋转信息，那接下来我们先来了解下四元数的基本概念及运算法则。

四元数定义

在数学中四元数定义为

上述关系可以叙述为：相同单位向量进行四元数乘法呈虚单位特性，相异单位向量进行四元数乘法呈两向量叉乘特性，故四元数可以看作一个超复数(超复数是复数在抽象代数中的引申，以高维度呈现。),也可看作四维空间中的一个向量。

四元数的表示形式

四元数有多种表现形式，有矢量式、复数式、三角式、矩阵式、指数式。

四元数的大小

数学中用四元数的范数来表示四元数的大小，具体如下：

四元数的运算法则

A. 加法与减法

B. 乘法

乘法又分四元数与四元数相乘、四元数与标量相乘，具体如下：

a. 与标量相乘

b. 与四元数相乘

若有如下两个四元数：

C. 除法(称为求逆)

逆的定义：

也即有

由于地理坐标系与物体坐标系均为直角坐标系，各个轴之间均为直角，当我们只研究两个坐标系之间的角度变化时，可将物体(等效为刚体)与坐标系固联，也即是，两个坐标系之间的角位置关系可用刚体的转动来表示。

那么物体从一个姿态变化到另一个姿态，可等效为物体绕了某一个轴通过无中间过程的一次旋转完成，但实际物体可能经过了多次中间过程才变化到了我们想要的姿态，通过这种变换关系，可求出物体从地理坐标系变到物体坐标系坐标或者从物体坐标系变到地理坐标系的坐标。

变换关系的推导：当我们研究两个坐标之间的角度变化关系(地理坐标系与物体坐标系)时，取物体坐标系与物体固联，物体坐标系与物体之间角位置始终不变，因此，我们可以以物体(视为刚体)定点转动问题来推导我们想要的变换关系，下面，我们就来推导一下我们想要的变化关系。

由图可知：

所以有

则有

由于未旋转之前，物体坐标系(b系)与地理坐标系重合，则有

对于物体来说，在转动过程中，位置向量与物体的坐标系之间的相对角位置始终不变，即有

所以记D为物体坐标系至地理坐标系的坐标变换矩阵，记为

我们已经知道四元数的范数定义为：

所以可以得出描述物体转动的四元数为规范化四元数。

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