欧式期权的定价

定理：支付已知红利股票的Black-Scholes欧式期权定价公式，设到期时刻为 T T T，行权价格为 K K K，已知红利的现值是 V V V，则标的资产价格 S S S满足几何布朗运动的股票欧式看涨期权价格为
c = ( S − V ) N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) c=(S-V)N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2) c=(S−V)N(d1)−Ke−r(T−t)N(d2)
其中
d 1 = ln ⁡ [ ( S − V ) / K ] + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d 2 = ln ⁡ [ ( S − V ) / K ] + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t = d 1 − σ T − t \begin{aligned} &d_1=\frac{\ln[(S-V)/K]+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ &d_2=\frac{\ln[(S-V)/K]+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=d_1-\sigma\sqrt{T-t} \end{aligned} d1=σT−t ln[(S−V)/K]+(r+σ2/2)(T−t)d2=σT−t ln[(S−V)/K]+(r−σ2/2)(T−t)=d1−σT−t
根据平价关系，可以推出欧式看跌期权的定价公式
p = K e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) − ( S − V ) N ( − d 1 ) p=Ke^{-r(T-t)}N(-d_2)-(S-V)N(-d_1) p=Ke−r(T−t)N(−d2)−(S−V)N(−d1)

例题

考虑到期时间还有6个月的股票欧式看涨期权和看跌期权，标的股票在2个月和5个月后各有一个除息日，在每个除息日的红利期望值为 0.5 0.5 0.5，已知当前股票价格为 40 40 40，行权价格为 40 40 40，股票年波动率为 30 % 30\% 30%，无风险年利率是 9 % 9\% 9%，求两种期权的价格.

解析

计算红利的现值为
V = D 1 e − r t 1 + D 2 e − r t 2 V=D_1e^{-rt_1}+D_2e^{-rt_2} V=D1e−rt1+D2e−rt2
BS模型参数
d 1 = ln ⁡ [ ( S − V ) / K ] + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d 2 = d 1 − σ T − t \begin{aligned} &d_1=\frac{\ln[(S-V)/K]+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ &d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t} \end{aligned} d1=σT−t ln[(S−V)/K]+(r+σ2/2)(T−t)d2=d1−σT−t
计算期权价格
c = ( S − V ) N ( d 1 ) − K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) p = K e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) − ( S − V ) N ( − d 1 ) \begin{aligned} &c=(S-V)N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)\\ &p=Ke^{-r(T-t)}N(-d_2)-(S-V)N(-d_1) \end{aligned} c=(S−V)N(d1)−Ke−r(T−t)N(d2)p=Ke−r(T−t)N(−d2)−(S−V)N(−d1)
c++计算支付红利的期权价格

void option_price(const double &s, const double &K, const double &r, const double &sigma, const double &tm, const double& v){double S=s-v;double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2)*tm)/(sigma*sqrt(tm));double d2=d1-sigma*sqrt(tm);// call option pricedouble c=S*N(d1)-K*exp(-r*tm)*N(d2);// put option pricedouble p=K*exp(-r*tm)*N(-d2)-S*N(-d1);cout<<"call option price: "<<c<<endl;cout<<"put option price: "<<p<<endl;
}int main(){double r=0.09;double t1=0.1667, t2=0.4167;// 计算红利现值double v=0.5*exp(-r*t1)+0.5*exp(-r*t2);option_price(40, 40, 0.09, 0.3, 0.5, v);return 0;
}

python计算支付红利的期权价格

from scipy.stats import norm
from math import log, expdef option_price(S, K, r, sigma, tm, v):S-=vd1=log(S/K)+(r+sigma**2/2)*tm/(sigma*sqrt(tm))d2=d1-sigma*sqrt(tm)c=S*norm.cdf(d1)-K*exp(-r*tm)*norm.cdf(d2)p=K*exp(-r*tm)*norm.cdf(-d2)-S*norm.cdf(-d1)print('call option price is {:.4f}'.format(c))print('put option price is {:.4f}'.format(p))t1, t2=2/12, 5/12
v=0.5*exp(-0.09*t1)+0.5*exp(-0.09*t2)
option_price(40, 40, 0.09, 0.3, 0.5, v)

美式期权定价

美式期权存在提前行权的问题，当预期有红利派发时，在除息日前立即行权是合理的选择. Roll，Geske和Whaley提出一种美式看涨期权定价公式
C = ( S − D 1 e − r τ 1 ) N ( b 1 ) + ( S − D 1 e − r τ 1 ) M ( a 1 , b 1 ; − τ 1 / τ ) − K e − r τ M ( a 2 , − b 2 ; − τ 1 / τ ) − ( K − D 1 ) e − r τ 1 N ( b 2 ) \begin{aligned} &C=(S-D_1e^{-r\tau_1})N(b_1)+(S-D_1e^{-r\tau_1})M(a_1, b_1; -\sqrt{\tau_1/\tau})-Ke^{-r\tau}M(a_2, -b_2;-\sqrt{\tau_1/\tau})-\\ &(K-D_1)e^{-r\tau_1}N(b_2) \end{aligned} C=(S−D1e−rτ1)N(b1)+(S−D1e−rτ1)M(a1,b1;−τ1/τ )−Ke−rτM(a2,−b2;−τ1/τ )−(K−D1)e−rτ1N(b2)
其中
a 1 = ln ⁡ [ ( S − D 1 e − r τ 1 ) / K ] + ( r + σ 2 / 2 ) τ σ τ a 2 = a 1 − σ τ b 1 = ln ⁡ [ ( S − D 1 e − r τ 1 ) / S ˉ ] + ( r + σ 2 / 2 ) τ 1 σ τ 1 b 2 = b 1 − σ τ 1 τ 2 = t 1 − t τ = T − t \begin{aligned} &a_1=\frac{\ln[(S-D_1e^{-r\tau_1})/K]+(r+\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\\ &a_2=a_1-\sigma\sqrt{\tau}\\ &b_1=\frac{\ln[(S-D_1e^{-r\tau_1})/\bar{S}]+(r+\sigma^2/2)\tau_1}{\sigma\sqrt{\tau_1}}\\ &b_2=b_1-\sigma\sqrt{\tau_1}\\ &\tau_2=t1-t\\ &\tau=T-t \end{aligned} a1=στ ln[(S−D1e−rτ1)/K]+(r+σ2/2)τa2=a1−στ b1=στ1 ln[(S−D1e−rτ1)/Sˉ]+(r+σ2/2)τ1b2=b1−στ1 τ2=t1−tτ=T−t
M ( a , b ; ρ ) M(a, b; \rho) M(a,b;ρ)：为二维正态分布的累积分布函数
D 1 D_1 D1：最后支付红利
t 1 t_1 t1：最后的除息日
S ˉ \bar{S} Sˉ：通过 c ( S ˉ , t 1 ) = S ˉ + D 1 − K c(\bar{S}, t_1)=\bar{S}+D_1-K c(Sˉ,t1)=Sˉ+D1−K解出，其中 c ( S ˉ , t 1 ) c(\bar{S}, t_1) c(Sˉ,t1)是当 S ˉ = S \bar{S}=S Sˉ=S且 t 1 = t t_1=t t1=t时，由BS公式给出的期权价格.

例题

美式期权，标的资产价格为 100 100 100，行权价格为 100 100 100，年无风险利率是 10 % 10\% 10%，年波动率是 25 % 25\% 25%，权利期1年，距离除息日还有6个月时间，预期红利为 10 10 10，求期权价格

解析

模型参数， S = K = 100 , r = 0.1 , σ = 0.25 , τ = T − t = 1 , τ 1 = t 1 − t = 0.5 , D 1 = 10 S=K=100, r=0.1, \sigma=0.25, \tau=T-t=1, \tau_1=t_1-t=0.5, D_1=10 S=K=100,r=0.1,σ=0.25,τ=T−t=1,τ1=t1−t=0.5,D1=10
计算 S ˉ \bar{S} Sˉ，求解方程 c ( S ˉ , t 1 ) = S ˉ + D 1 − K c(\bar{S}, t_1)=\bar{S}+D_1-K c(Sˉ,t1)=Sˉ+D1−K
计算参数
a 1 = ln ⁡ [ ( 100 − 10 e − 0.1 ∗ 0.5 ) / 100 ] + ( 0.1 + 0.2 5 2 / 2 ) ∗ 1 0.25 ∗ 1 a 2 = a 1 − σ τ b 1 = ln ⁡ [ ( 100 − 10 e − 0.1 ∗ 0.5 ) / S ˉ ] + ( 0.1 + 0.2 5 2 / 2 ) ∗ 0.5 0.25 ∗ 0.5 b 2 = b 1 − σ τ 1 \begin{aligned} &a_1=\frac{\ln[(100-10e^{-0.1*0.5})/100]+(0.1+0.25^2/2)*1}{0.25*\sqrt{1}}\\ &a_2=a_1-\sigma\sqrt{\tau}\\ &b_1=\frac{\ln[(100-10e^{-0.1*0.5})/\bar{S}]+(0.1+0.25^2/2)*0.5}{0.25*\sqrt{0.5}}\\ &b_2=b_1-\sigma\sqrt{\tau_1} \end{aligned} a1=0.25∗1 ln[(100−10e−0.1∗0.5)/100]+(0.1+0.252/2)∗1a2=a1−στ b1=0.25∗0.5 ln[(100−10e−0.1∗0.5)/Sˉ]+(0.1+0.252/2)∗0.5b2=b1−στ1
python计算美式期权价格

from scipy.stats import norm as N
from scipy.stats import multivariate_normal as mvn
from math import log, exp
import numpy as npEPS=1e-6 # 二分法计算精度
MAX=0x3f3f3f3fdef euro_call_option_price(S, K, r, sigma, tm):d1=log(S/K)+(r+sigma**2/2)*tm/(sigma*sqrt(tm))d2=d1-sigma*sqrt(tm)c=S*N.cdf(d1)-K*exp(-r*tm)*N.cdf(d2)p=K*exp(-r*tm)*N.cdf(-d2)-S*N.cdf(-d1)return cdef american_call_option_price(S, K, r, sigma, tau, D1, tau1):if D1<=K-K*exp(-r*(tau-tau1)): return euro_call_option_price(S-D1*exp(-r*tau1), K, r, sigma, tau)rho=-sqrt(tau1/tau)S_bar, S_low, S_hi=0, 0, Sc=euro_call_option_price(S_hi, K, r, sigma, tau-tau1)p=c-S_hi-D1+K # 目标值while p>0.00 and S_hi<MAX:S_hi*=2.0c=euro_call_option_price(S_hi, K, r, sigma, tau-tau1)p=c-S_hi-D1+Kif S_hi>MAX: return euro_call_option_price(S-D1*exp(-r*tau1), K, r, sigma, tau)S_bar=S_hi/2c=euro_call_option_price(S_bar, K, r, sigma, tau-tau1)# 二分while abs(p)>EPS and S_hi-S_low>EPS:if p<0.00: S_hi=S_barelse: S_low=S_barS_bar=0.5*(S_hi+S_low)c=euro_call_option_price(S_bar, K, r, sigma, tau-tau1)p=c-S_bar-D1+Ka1=(log((S-D1*exp(-r*tau1))/K)+(r+sigma**2/2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))a2=a1-sigma*sqrt(tau)b1=(log((S-D1*exp(-r*tau1))/S_bar)+(r+sigma**2/2)*tau1)/(sigma*sqrt(tau1))b2=b1-sigma*sqrt(tau)mean = np.array([0.00, 0.00])covariance = np.array([[1, rho],[rho, 1]])MN = mvn(mean=mean, cov=covariance)# 计算美式期权C=(S-D1*exp(-r*tau1))*N.cdf(b1)+(S-D1*exp(-r*tau1))*MN.cdf([a1, b1])-(K*exp(-r*tau))*MN.cdf([a2, b2])-(K-D1)*exp(-r*tau1)*N.cdf(b2)return CC=american_call_option_price(100.0, 100.0, 0.1, 0.25, 1.0, 10.0, 0.5)
print('american call option is {:.4f}'.format(C))

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