结合论文理解gps与imu融合定位代码的细节

学习该文章：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/152662055

状态定义

struct State {double timestamp;Eigen::Vector3d lla;       // WGS84 position.Eigen::Vector3d G_p_I;     // The original point of the IMU frame in the Global frame.Eigen::Vector3d G_v_I;     // The velocity original point of the IMU frame in the Global frame.Eigen::Matrix3d G_R_I;     // The rotation from the IMU frame to the Global frame.Eigen::Vector3d acc_bias;  // The bias of the acceleration sensor.Eigen::Vector3d gyro_bias; // The bias of the gyroscope sensor.// Covariance.Eigen::Matrix<double, 15, 15> cov;// The imu data.ImuDataPtr imu_data_ptr;
};

包含：

Eigen::Vector3d G_p_I;     // The original point of the IMU frame in the Global frame.Eigen::Vector3d G_v_I;     // The velocity original point of the IMU frame in the Global frame.Eigen::Matrix3d G_R_I;     // The rotation from the IMU frame to the Global frame.Eigen::Vector3d acc_bias;  // The bias of the acceleration sensor.Eigen::Vector3d gyro_bias; // The bias of the gyroscope sensor.

5个状态量，在协方差表示时，旋转也用三维的旋转角表示，所以，其协方差矩阵为15。

ekf的公式

imu predict的细节

void ImuProcessor::Predict(const ImuDataPtr last_imu, const ImuDataPtr cur_imu, State* state) {// Time.const double delta_t = cur_imu->timestamp - last_imu->timestamp;const double delta_t2 = delta_t * delta_t;// Set last state.State last_state = *state;// Acc and gyro.const Eigen::Vector3d acc_unbias = 0.5 * (last_imu->acc + cur_imu->acc) - last_state.acc_bias;const Eigen::Vector3d gyro_unbias = 0.5 * (last_imu->gyro + cur_imu->gyro) - last_state.gyro_bias;// Normal state. // Using P58. of "Quaternion kinematics for the error-state Kalman Filter".state->G_p_I = last_state.G_p_I + last_state.G_v_I * delta_t + 0.5 * (last_state.G_R_I * acc_unbias + gravity_) * delta_t2;state->G_v_I = last_state.G_v_I + (last_state.G_R_I * acc_unbias + gravity_) * delta_t;const Eigen::Vector3d delta_angle_axis = gyro_unbias * delta_t;if (delta_angle_axis.norm() > 1e-12) {state->G_R_I = last_state.G_R_I * Eigen::AngleAxisd(delta_angle_axis.norm(), delta_angle_axis.normalized()).toRotationMatrix();}// Error-state. Not needed.// Covariance of the error-state.   Eigen::Matrix<double, 15, 15> Fx = Eigen::Matrix<double, 15, 15>::Identity();Fx.block<3, 3>(0, 3)   = Eigen::Matrix3d::Identity() * delta_t;Fx.block<3, 3>(3, 6)   = - state->G_R_I * GetSkewMatrix(acc_unbias) * delta_t;Fx.block<3, 3>(3, 9)   = - state->G_R_I * delta_t;if (delta_angle_axis.norm() > 1e-12) {Fx.block<3, 3>(6, 6) = Eigen::AngleAxisd(delta_angle_axis.norm(), delta_angle_axis.normalized()).toRotationMatrix().transpose();} else {Fx.block<3, 3>(6, 6).setIdentity();}Fx.block<3, 3>(6, 12)  = - Eigen::Matrix3d::Identity() * delta_t;Eigen::Matrix<double, 15, 12> Fi = Eigen::Matrix<double, 15, 12>::Zero();Fi.block<12, 12>(3, 0) = Eigen::Matrix<double, 12, 12>::Identity();Eigen::Matrix<double, 12, 12> Qi = Eigen::Matrix<double, 12, 12>::Zero();Qi.block<3, 3>(0, 0) = delta_t2 * acc_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(3, 3) = delta_t2 * gyro_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(6, 6) = delta_t * acc_bias_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(9, 9) = delta_t * gyro_bias_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();state->cov = Fx * last_state.cov * Fx.transpose() + Fi * Qi * Fi.transpose();// Time and imu.state->timestamp = cur_imu->timestamp;state->imu_data_ptr = cur_imu;
}

predict主要是对nominal state的运动学估计，以及对协方差的递推（为了在观测值来的时候，结合两者的协方差算出K值）。
细节：
1、gravity_这里是加号，为什么不是减号？
2、协方差传递的Fx的计算，与《Quaternion Kinematics for the error-state KF》中的一致：
（误差的传递与nominal state的传递都是一样的，遵循的都是相同的运动学模型，只是误差会在之前的数值的基础上继续包括新增的各种运动误差，如imu的bias，随机游走等，而nominal则不管这些值，按照正常的运动学模型递推。）

就以上面的5.4.2来说，这个f()包括了几个函数：
关于δp\delta pδp的函数，关于 δv\delta vδv的函数，共有6个函数，分别叫做f1,f2,f3,f4,f5,f6吧。
则Fx的计算就是：
[∂f1∂δp∂f1∂δv∂f1∂δθ...∂f2∂δp∂f2∂δv∂f2∂δθ......∂f6∂δp∂f6∂δv∂f6∂δθ...]\begin{bmatrix} \frac{\partial f1}{\partial\delta p} \frac{\partial f1}{\partial\delta v} \frac{\partial f1}{\partial\delta \theta} ... \\ \frac{\partial f2}{\partial\delta p} \frac{\partial f2}{\partial\delta v} \frac{\partial f2}{\partial\delta \theta} ... \\ ... \\ \frac{\partial f6}{\partial\delta p} \frac{\partial f6}{\partial\delta v} \frac{\partial f6}{\partial\delta \theta} ... \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡∂δp∂f1∂δv∂f1∂δθ∂f1...∂δp∂f2∂δv∂f2∂δθ∂f2......∂δp∂f6∂δv∂f6∂δθ∂f6...⎦⎥⎥⎥⎤

结果就是上面的公式269。

3、Fi的计算

Fi代表的是误差状态传递函数对干扰项的导数。
同样的，f1…f6对干扰项 viθiaiwiv_i \\ \theta_i \\ a_i \\ w_iviθiaiwi进行求导：
对应代码中也是如此设置：

     Eigen::Matrix<double, 15, 12> Fi = Eigen::Matrix<double, 15, 12>::Zero();Fi.block<12, 12>(3, 0) = Eigen::Matrix<double, 12, 12>::Identity();

4、Qi的计算
Qi代表的是干扰项的协方差，这些干扰项各自独立，自然只有对角线上有值。干扰项的含义，以及协方差的计算介绍：

都是与imu相关的误差参数，这些值是可以标定出来的，例如：

accelerometer_noise_density: 0.012576 #continous
accelerometer_random_walk: 0.000232
gyroscope_noise_density: 0.0012615 #continous
gyroscope_random_walk: 0.0000075

代码中是这样设置的：

    Eigen::Matrix<double, 12, 12> Qi = Eigen::Matrix<double, 12, 12>::Zero();Qi.block<3, 3>(0, 0) = delta_t2 * acc_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(3, 3) = delta_t2 * gyro_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(6, 6) = delta_t * acc_bias_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();Qi.block<3, 3>(9, 9) = delta_t * gyro_bias_noise_ * Eigen::Matrix3d::Identity();

这些参数，代码中是在初始化时设置的：

LocalizationWrapper::LocalizationWrapper(ros::NodeHandle& nh) {// Load configs.double acc_noise, gyro_noise, acc_bias_noise, gyro_bias_noise;nh.param("acc_noise",       acc_noise, 1e-2);nh.param("gyro_noise",      gyro_noise, 1e-4);nh.param("acc_bias_noise",  acc_bias_noise, 1e-6);nh.param("gyro_bias_noise", gyro_bias_noise, 1e-8);

<launch><param name="acc_noise"       type="double" value="1e-2" /><param name="gyro_noise"      type="double" value="1e-4" /><param name="acc_bias_noise"  type="double" value="1e-6" /><param name="gyro_bias_noise" type="double" value="1e-8" /><param name="I_p_Gps_x"       type="double" value="0.0" /><param name="I_p_Gps_y"       type="double" value="0.0" /><param name="I_p_Gps_z"       type="double" value="0.0" /><param name="log_folder"      type="string" value="$(find imu_gps_localization)" /><node name="nmea_topic_driver" pkg="nmea_navsat_driver" type="nmea_topic_driver" output="screen" /><node name="imu_gps_localization_node" pkg="imu_gps_localization" type="imu_gps_localization_node" output="screen" /><node pkg="rviz" type="rviz" name="rviz" output="screen" args="-d $(find imu_gps_localization)/ros_wrapper/rviz/default.rviz" required="true"></node></launch>

Qi矩阵：

递推协方差的计算

协方差反应了递推的数据多不靠谱的程度。

经过上面计算的Fx,Fi,Qi，以及上一时刻的P，就可以计算了。
代码中：

state->cov = Fx * last_state.cov * Fx.transpose() + Fi * Qi * Fi.transpose();

观测函数的jacobian的计算

gps的观测，会得到一个位置的信息，其他都没有，就是说虽然imu估计了p、v、q、ba、bg，可以将这些估计状态转换为观测值的是：
G_p_I + G_R_I * I_p_Gps_
其中，I_p_Gps_是一开机时计算出来的gps原点与imu的转换关系，是固定的。
h函数对状态量求导：
对G_p_I，得到 I3∗3I_{3*3} I3∗3
对G_v_I求导，0（33）
对G_R_I求导，得到- G_R_I * GetSkewMatrix(I_p_Gps_);参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/156895046
对acc_bias求导，得到0（33）
对gyro_bias求导，得到0（3*3）。

也就是以下代码实现：

void GpsProcessor::ComputeJacobianAndResidual(const Eigen::Vector3d& init_lla,  const GpsPositionDataPtr gps_data, const State& state,Eigen::Matrix<double, 3, 15>* jacobian,Eigen::Vector3d* residual) {const Eigen::Vector3d& G_p_I   = state.G_p_I;const Eigen::Matrix3d& G_R_I   = state.G_R_I;// Convert wgs84 to ENU frame.Eigen::Vector3d G_p_Gps;//测量值ConvertLLAToENU(init_lla, gps_data->lla, &G_p_Gps);// Compute residual.//I_p_Gps_在imu坐标系下的位移？是固定值？//G_p_I + G_R_I * I_p_Gps_预测的状态计算出来的坐标点*residual = G_p_Gps - (G_p_I + G_R_I * I_p_Gps_);// Compute jacobian.jacobian->setZero();jacobian->block<3, 3>(0, 0)  = Eigen::Matrix3d::Identity();jacobian->block<3, 3>(0, 6)  = - G_R_I * GetSkewMatrix(I_p_Gps_);
}

观测函数h在不同模型下是不同的，这里需要求出h对误差状态的jacobian，为啥是对误差状态量的jacobian呢？
算出这个jacobian H，就可以与递推的P，和观测噪声，共同计算K了。

上面imu predict的时候，是对什么进行递推？没有对具体的误差数值如 δp\delta pδp这些递推，只是递推了协方差的值，协方差本身就反应了误差数据，本身就代表了误差数据。

（啰嗦，还在深刻理解总结）
我们一直在计算误差的协方差，但是我们始终假设误差的mean是零，这个协方差反应了我们的nominal state的多不靠谱，也是error state的表示，两个是一个意思。当观测数据到来的时候，相当于就是用noimal state推理的状态，映射到观测空间，与观测值计算出残差，K乘于这个残差，就是对nomial state推理出来的数据的补偿。
error state推理的协方差，代表了nominal state的不可信度，观测数据的协方差，代表的是观测数据的不可信度。

nominal state在递推，误差的协方差也在递推，在递推的过程中，只是知道越来越不可信，但是究竟数值有多少，没有客观参考，无法得知。直到观测数据到来，才能让误差现身。

所谓的现身，是什么意思呢？就是将递推的数据，与观测的数据，一对比，就知道了。但是要让误差数值现身可不是随便来的，毕竟所得到的观测数据，自己也有误差啊。所以，需要kalman增益系数来综合两者，对观测数据和预测的状态的映射数据的差值乘上这个系数，才得到最可能的误差值。

不明白的是为何要计算观测函数对误差状态的jacobian。一会翻过来再理解一下ekf

总结一下：
我们要用综合计算出来的 δx^\delta \hat x δx^ 加到nominal state xx x上，得到最优的
x^t\hat x_t x^t，即
x^t=x+δx^\hat x_t = x + \delta \hat x x^t=x+δx^

而 :
δx^=K(y−h(x^t))\delta \hat x = K (y- h(\hat x_t))δx^=K(y−h(x^t))
这里，y表示观测值，x^t\hat x_tx^t表示真值，但是这时候哪有真值，唯有用当前推理得到的nominal state代替，这也是合理的，因为我们还有不确定度这个数据。

而：
K=PHt(HPHt+V)−1K= PH^t (HPH^t+V)^{-1}K=PHt(HPHt+V)−1

所以需要有H，
而H定义为观测函数对误差量的jacobian矩阵：
H≡∂h∂δxH \equiv \frac{\partial h}{\partial \delta x}H≡∂δx∂h

h其实是状态变量的函数，对误差项怎么求导？
别忘了：
真值，其实是nominal state+误差项，
所以：

对于 HxH_x Hx 其实就是一般的对状态量的jacobian，跟这个观测方程有关。

第二项，其实就是真值对误差项目的求导，看下表：
composition 那一列：
所以，这个XδxX_{\delta x}Xδx 的表达式是固定的：

参考代码里的只是做了前面 HxH_x Hx的计算，后面的XδxX_{\delta x}Xδx没有计算。

   // Compute jacobian.jacobian->setZero();jacobian->block<3, 3>(0, 0)  = Eigen::Matrix3d::Identity();jacobian->block<3, 3>(0, 6)  = - G_R_I * GetSkewMatrix(I_p_Gps_);