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补充资料：分数阶积分与微分

分数阶积分与微分

og fractional integration and differentia-

分数阶积分的逆运算称为分数阶微分:若几介F，则f为F的:阶分数阶导数(na ctional deriVative).若00: ;、一上一f一工鱼一一添 r回几恤一t)’-(对f给予适当的限制;见!IL那里还包含算子人关于乌的估计). 下列定义(H.研几yl，1917)对可积的具有2二周期并在周期上具零均值的函数是方便的.设 f(x，一{采0cn“‘”’一艺‘、“‘”’，则f的以:>0)阶叭几贝积分(W亡ylintegl司)用式，，eC才月x 了_IX】~Z—!乙l 气!n)-定义;并且斑吞>0)阶导数尸用方程 d” fp(x)“~子二天一，(x) v一了dx”护”一户v，定义，这里n是大于刀的最小整数(应注意天(x)与几f(x)重合). 这些定义在广义函数论的框架中有进一步的发展.对周期的广义函数 f一艺‘毕切·分数阶积分灯=人的运算可据式(2)对一切实值:实现(若仪为负的，人f与“阶偏导数一致)且有关于参数“的半群性质. 在n维空间X中分数阶积分运算的类似式为R免业位势(Riesz potential;或俘挚掣积分恤把脚!of poten-tjal tyPe)) 。，，、，_.。r((n一“、/2、rf(x、八_I《Xl二兀一t‘今-二一二言~一二二一‘二.--~‘‘戈二‘~dt T’t以j乙)竺}X一艺r” ‘、，，X凡的逆运算称为“阶Riesz导数(Riesz derivati记).分数阶积分与微分l云.西加目如吻阳‘刃翻日由场，曰血-肠即;八p浦姗。HT即.脚.翻.比。月.中中epe。朋.碑旧曰皿e]，亦称分数次积分与微分积分与微分运算到分数阶情形的推广，设f为区间[a，bl上可积函数，并设I汀(x)为f在la，x]上的积分，而嵘f(x)为此_、f(x)在ta，xl上的积分.，=2，3，…，那么有，。子‘。=~二一亡‘一犷，r‘八月，。、Y、、门、卫_1 IX，一—1 IX一f，I吸tl“不.“浇无受D，111 IL“)了其中r间‘恤一I)!为r函数(手mi刀以丘山ctlon).上式右边对每个戊>0都有意义.等式(l)定义了f以a为始点的:阶分数阶积分(n习ctionalin噢州)或RI曰m以nn-Liou喇沮e积分(R~一Liou祖le int叩户1).对于复值参数:，算子叮被B.R记n艾Ir田(l时7)研究过，算子I:是线性的且有半群性质: 程「瑙(x)]二I:+，f(x).

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