NE555基本原理及相关公式的推导

基本原理
公式推导

基本原理

NE555主要由分压电路，电压比较器，RS触发器三部分组成；

分压电路	电压比较器	RS触发器
提供电压比较器比较电压	根据触发信号输出高低电平	用于输出矩形波

当VA>23VccV_A>\frac{2}{3}V_{cc}VA>32Vcc,C1C_1C1输出低电平，反之输出高电平。
当VB>13VccV_B>\frac{1}{3}V_{cc}VB>31Vcc,C1C_1C1输出高电平，反之输出低电平。
C1C_1C1触发器输出端接RS触发器Reset引脚,低电平有效。
C2C_2C2触发器输出端接RS触发器Set引脚,低电平有效。

VAV_AVA	VBV_BVB	RRR	SSS	QQQ	放电管
>23Vcc>\frac{2}{3}V_{cc}>32Vcc	>13Vcc>\frac{1}{3}V_{cc}>31Vcc	0	1	0	导通
<23Vcc<\frac{2}{3}V_{cc}<32Vcc	>13Vcc>\frac{1}{3}V_{cc}>31Vcc	1	1	保持原状态	保持原状态
<23Vcc<\frac{2}{3}V_{cc}<32Vcc	<13Vcc<\frac{1}{3}V_{cc}<31Vcc	1	0	1	截至

该图为数据手册中输出为方波的多谐振荡器。
把它代入到原理图中进行分析。

VA=VBV_A=V_BVA=VB	RRR	SSS	QQQ	放电管	电容(6脚与地之间)
0V	1	0	1	截至	充电
>13Vcc>\frac{1}{3}V_{cc}>31Vcc	1	1	保持原状态	保持原状态	充电
>23Vcc>\frac{2}{3}V_{cc}>32Vcc	0	1	0	导通	放电
<23Vcc<\frac{2}{3}V_{cc}<32Vcc	1	1	保持原状态	保持原状态	放电
<13Vcc<\frac{1}{3}V_{cc}<31Vcc	1	0	1	截至	充电

电源接通时电容从0V0V0V开始充电,
电容电压达到23VCC\frac{2}{3}V_{CC}32VCC时，输出状态发生变化，电容通过R2R_2R2和导通后的放电管开始放电。
当放电到低于13VCC\frac{1}{3}V_{CC}31VCC时，放电管截至，电容继续开始充电。
通过电容充放电的循环过程产生矩形波。

公式推导

根据一阶电路的三要素公式：
f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]∗etτf(t)=f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]*e^{\frac{t}{\tau}}f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]∗eτt

t=RCln⁡f(0+)−f(∞)f(t)−f(∞)t=RC\ln_{}{\frac{f(0_+)-f(\infty)}{f(t)-f(\infty)}}t=RClnf(t)−f(∞)f(0+)−f(∞)
f(0+)f(0_+)f(0+):初始值
f(∞)f(\infty)f(∞):稳态值
f(t)f(t)f(t)：充放电的目标值

由VCCV_{CC}VCC经过R1、R2R1、R2R1、R2给电容由13VCC\frac{1}{3}V_{CC}31VCC充电到23VCC\frac{2}{3}V_{CC}32VCC
初始值为：13VCC\frac{1}{3}V_{CC}31VCC
稳态值为：VCCV_{CC}VCC
目标值为：23VCC\frac{2}{3}V_{CC}32VCC

代入公式：
th=(R1+R2)Cln⁡13VCC−VCC23VCC−VCCth=(R1+R2)C\ln_{}{\frac{\frac{1}{3}V_{CC}-V_{CC}}{\frac{2}{3}V_{CC}-V_{CC}}}th=(R1+R2)Cln32VCC−VCC31VCC−VCC
th=(R1+R2)Cln⁡23VCC13VCCth=(R1+R2)C\ln_{}{\frac{\frac{2}{3}V_{CC}}{\frac{1}{3}V_{CC}}}th=(R1+R2)Cln31VCC32VCC
th=(R1+R2)Cln⁡2th=(R1+R2)C\ln_{}{2}th=(R1+R2)Cln2
th=(R1+R2)C∗0.693th=(R1+R2)C*0.693th=(R1+R2)C∗0.693
充电过程中Q为高电平,所以ththth为高电平输出时间。

放电管导通，电容经R2R2R2接地放电，由23VCC\frac{2}{3}V_{CC}32VCC放电到13VCC\frac{1}{3}V_{CC}31VCC
初始值为：23VCC\frac{2}{3}V_{CC}32VCC
稳态值为：0V0V0V
目标值为：13VCC\frac{1}{3}V_{CC}31VCC
代入公式：
th=(R1+R2)Cln⁡23VCC−013VCC−0th=(R1+R2)C\ln_{}{\frac{\frac{2}{3}V_{CC}-0}{\frac{1}{3}V_{CC}-0}}th=(R1+R2)Cln31VCC−032VCC−0
tl=R2∗Cln⁡23VCC13VCCtl=R2*C\ln_{}{\frac{\frac{2}{3}V_{CC}}{\frac{1}{3}V_{CC}}}tl=R2∗Cln31VCC32VCC
tl=R2∗Cln⁡2tl=R2*C\ln_{}{2}tl=R2∗Cln2
tl=R2∗C∗0.693tl=R2*C*0.693tl=R2∗C∗0.693
放电过程中Q为低电平，所以tltltl为低电平输出时间

推导出：
周期：T=th+tl=(R1+2R2)C∗0.693T=th+tl=(R1+2R2)C*0.693T=th+tl=(R1+2R2)C∗0.693

频率：f=1T=1.44(R1+2R2)Cf=\frac{1}{T}=\frac{1.44}{(R1+2R2)C}f=T1=(R1+2R2)C1.44

占空比：D=tlT=R2R1+2R2D=\frac{tl}{T}=\frac{R2}{R1+2R2}D=Ttl=R1+2R2R2

通过调节R1、R2、CR1、R2、CR1、R2、C可以改变频率或者周期，调节R2R2R2可以调节占空比。

按照上面接法，QQQ端输出矩形波，电容端输出锯齿波。