复杂系统学习（六）：细胞自动机II：实现一个模型
目录
1. 引言
2. 模型的实现
3. 应用：Lotka-Volterra
3.1 Lotka-Volterra模型的CA版本
4. 应用：流行病
4.1 SIR疾病模型的CA版本
4.1.1 SIR疾病模型的第一版CA
4.1.2 SIR疾病模型的第二版CA
5. 探索我们的模型行为
6. 基本CA模型的扩展
7. 为什么使用CA？
1. 引言
细胞自动机的局限性，不能够直接分析行为。
本节的目的是：
- 认识到在实现CA模型时需要做出的一些关键决策
- 理解基于ODE模型指定CA模型所涉及的步骤
- 欣赏模型设计的创造性方面
2. 模型的实现
空间
我们需要思考的问题有：
- 空间是如何表现的？
- agent 如何在空间中定位？
并且需要考虑：
- 离散与连续的空间
- 单个与多个 cells 占用
- proximate 与 long-range 的相互作用
时间
我们需要考虑的问题有：
- 时间是如何体现的？
- 事件的顺序如何影响行为？
并且需要考虑：
每个单元的状态被更新的顺序
- 系统的每个组件都会同时更新吗？（同步更新）
- 还是一次一次地更新？(异步更新)
- 如果是异步更新，这些组件将以什么顺序被更新？
离散时间与连续时间
- 离散：检查每个时间步长会发生什么。
- 连续：接下来会发生什么事件，何时发生？
信息
我们需要考虑的问题有：
- 组件（cells / agents）使用什么信息？
- 它们是如何获得的？
并且需要考虑：
- 变量的范围：global、cell（patch）、agent（turtle）。
- 如何访问和修改这些变量
- 感知的（空间）范围：随着范围的扩大会发生什么？(即，什么是邻域？）
状态更新
我们需要考虑的问题有：
- 更新是确定性的还是随机性的？
- 这个决定如何影响行为？
并且需要考虑：
- 一个组件的未来状态是否将由其当前的输入、环境等唯一指定？(确定性更新)
- 还是会涉及一些随机性？(随机更新)
3. 应用：Lotka-Volterra
Lotka-Volterra模型：
- 猎物（兔子）：
- 捕食者（红狐狸）：
参数：
兔子数量的增长率
3.1 Lotka-Volterra模型的CA版本
我们不是直接对每个人口的规模（宏观变量）进行建模，而是明确表示每个个体，然后观察（测量）人口的规模。
空间：
- 我们将在一个二维规则格子（网格）上表示每个个体的位置，而不是假设我们的种群混合得很好。
- 我们将做一个新的假设，即在任何时间点上只有一只动物可以占据一个网格空间。
时间：
- 我们将使用离散的时间步骤，而不是连续处理时间。
信息：
- 我们将假设每个动物个体只知道它的近邻。
状态更新：
- 我们的二维格子中的每个单元将取三个值中的一个：
更新规则：
从我们的格子中随机挑选一个单元（A）。
随机选择A的一个邻居（B）。
更新如下：
- 如果A包含一只兔子，B是空的，那么，在概率为α的情况下，兔子会繁殖，B现在包含一个新的兔子——猎物繁殖
- 如果A中有一只狐狸，B中有一只兔子，或者如果A中有一只兔子，B中有一只狐狸，那么兔子被吃掉的概率为
；并且，如果发生这种情况，以概率
，原先含有兔子的细胞现在含有新的狐狸——猎物死亡和捕食者繁殖
- 如果A中有一只狐狸，而B为空，那么狐狸死亡的概率为
——捕食者死亡
- 如果A是空的，而B包含一只狐狸或一只兔子，那么相邻的动物就会从B移动到A——动物移动
4. 应用：流行病
SIR疾病模型：
状态变量：
- 注：因此，
参数：
4.1 SIR疾病模型的CA版本
我们不是直接测量每个疾病区间的人口比例（宏观变量），而是明确表示每个个体，标记他们当前的疾病状态，然后观察（测量）每个状态的人口比例。
空间：
- 我们不是假设我们的种群是很好的混合，而是将每个个体的位置表示在一个二维规则格子（网格）上。
- 我们将作出新的假设，即一个人同时占据一个网格单元，而且人们的位置在一段时间内是固定的（即他们不会移动！）。
时间：
- 我们将使用离散的时间步骤，而不是连续处理时间。
信息：
- 最初，人口中的一部分p是有传染性的，其余的人口是易受感染的。
4.1.1 SIR疾病模型的第一版CA
状态更新：
- 我们的二维格子中的每个单元将取三个值中的一个：
更新规则：
- 一个易感者可以被一个有传染性的邻居感染的概率为
- 一个受感染的人恢复的概率为
4.1.2 SIR疾病模型的第二版CA
请注意，对于任何现实世界的系统，我们可能有多种可能的模型可供选择：
如前所述，每个站点对某种疾病可以是易感的（）、传染的（
）或恢复的（
）。现在，免疫是暂时的，人们以
的速率再次易感。因此，平均而言，人们是：
- 感染：
天
- 恢复（免疫）为：
天
状态更新：
现在每个单元格可以在 范围内取值，如下所示：
更新规则：
- 如果一个易感者的邻居中至少有一个人具有传染性，那么这个易感者就会受到感染。
- 感染者在
天后恢复过来
- 康复者在
天后失去免疫力并成为易感者（免疫力减退）。
5. 探索我们的模型行为
参数扫描：
描述模型行为的一种常见方法是进行参数扫描：系统地改变每个参数的值，以了解其对系统行为的影响。
例如（SIR疾病模型的第二版CA），对以下每个组合运行模型：
（传染病人的初始比例）
（一个人感染的天数）
（一个人恢复/免疫的天数）
- 即，
种可能的组合
参数扫描：
- 因为我们的模型行为是随机的，我们可能想把每个参数组合运行几次，考虑系统的平均行为。
- 对于轨迹（即随时间变化的状态序列），这可能是困难的。通常情况下，我们确定一些全局测量，记录每次模拟运行的值，并报告平均值和标准差。
6. 基本CA模型的扩展
异步或同步CA
基本的CA在每个时间步骤中同步（在同一时间）更新所有单元。我们也可以在不同时间更新单元。
概率性CA
基本CA的更新规则是确定性的（Cx.05例子）。我们也可以使用概率/随机的更新规则（Cx.06的例子）。
非同质性CA
基本CA对每个单元都适用相同的更新规则。我们也可以使用上下文敏感的规则。
网络结构的CA
基本CA用网格相邻关系来定义邻域。我们也可以使用更复杂的邻居网络拓扑结构（我们将在后面看这个）。
7. 为什么使用CA？
优势：
- 它们（相对）简单，容易实现
- 它们可以表示难以用ODEs建模的相互作用和行为
- 它们反映了系统组件的内在个性
缺点：
- 它们是相对受限制的（拓扑结构、相互作用、个体行为）。
- 全局行为可能难以解释
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