命题

具有判断内容的陈述句称为命题。真值为命题的属性，真值取真或假，分为记为1（T)和0（F）
为了便于对命题做一般性的讨论，常用大写的英文字母来表示任意命题，并称为命题变元。由于命题变元表示任意的命题，它的真值尚未确定，只有当命题变元用一个具体的“命题”代入时，它才有确定的真值。这个过程称为对命题变元进行指派。

联结词

否定

非P，¬P

合取

P且Q，P∧Q

析取

P或Q，P∨Q（可兼或，可同时为真即P，Q都为1时P∨Q为1）

蕴含

P蕴含Q，P→Q 如果P，则Q; Q是P的必要条件；P是前件，Q是后件。
只有前件为1，后件为0时P→Q才为0

双向蕴含

P双向蕴含Q，P↔Q，P当且仅当Q；如果P则Q，反之亦然； P是Q的充要条件

排斥或

P⊕Q，或记作P ∨ ‾ \overline{∨} ∨Q,当且仅当P和Q真值不相等时，P⊕Q为1

逻辑联结词可以把简单的命题组合成复杂命题，通常把不含任何联结词的命题称为原子命题，有原子命题和联结词组成的复杂命题称为复合命题。
同样，由命题变元和联结词组成的复杂命题变元称为命题公式。

命题符号化：例：如果天不下雨，我去看球赛，否则我在家自习。P：天不下雨，Q：我去看球赛 R：我在家自习
则命题为：（P↔Q）∧（¬P↔R）

真值表与逻辑等价

真值表：对命题公式中各命题变元指派所有可能的真值，以及由此确定的命题公式的真值汇成列表，称为真值表。
一般地，含n个命题变元的命题公式有 2 n 2^n 2n组取值。
逻辑等价：在真值表中，两个命题公式A和B在命题变元的不同组指派下，其真值总是相同的，则称这两个命题公式A，B逻辑等价，记作A<=>B
永真式：命题公式在命题变量的不同指派下，真值恒为1，则该命题公式为永真式
永假式：命题公式在命题变量的不同指派下，真值恒为0，则该命题公式为永假式
代换规则：设命题公式A等价于B，如果A是命题公式C的子式，则A出现的地方用B代替，得到命题公式D，则C等价于D

要证明两个命题公式是逻辑等价的，不仅可以用真值表法，还可以用代换规则，通过演算来证明两个命题公式是逻辑等价的。
定理：设A和B是命题公式，如果A↔B为永真式，则A逻辑等价于B，反之亦然。
对偶式：设A为命题公式，且A中仅有联结词¬，∧，∨，在A中把∧，∨，0,1，分别换成∨，∧，1,0得到的命题公式A*称为A的对偶式。

对偶原理：设A，B为命题公式，且都仅含有联结词¬，∧，∨，A’，B’分别为A，B的对偶式，则如果A，B逻辑等价则A’，B’逻辑等价
常用的逻辑等价式：
结合律，分配律，摩根律¬（P∧Q）<=>¬P∨¬Q
P→Q<=>¬P∨Q
P↔Q<=>（P→Q）∧（Q→P）
P↔Q<=>（P∧Q）∨（¬P∧¬Q）

范式

析取范式

如果一个命题公式可以等价地写出 A 1 ∨ A 2 ∨ . . . ∨ A n A_1∨A_2∨...∨A_n A1∨A2∨...∨An,其中 A 1 , . . . , A n A_1,...,A_n A1,...,An都是由命题变元或其否定的合取组成的项，则称这种表示形式为析取范式
求一个命题公式析取范式的步骤：
①首先把命题公式各类联结词转化为¬，∧，∨
②利用摩根律，将联结词¬置于各个命题变元的前面
③利用分配律和结合律把命题公式转化为析取范式
命题公式的析取范式不唯一，为了统一命题公式，引入主析取范式：
对于一个含有n个命题变元的命题公式，若已经表示成析取范式，且该析取范式的每个合取项都有n个命题变元或其否定的合取组成，则此析取范式称为主析取范式。
通过给缺少命题变元P的合取项∧1=缺少命题变元P的合取项∧（¬P∨P），再进行展开处理添上缺少的命题变量。
利用真值表求主析取范式：
真值表1的行代表合取项， m . . . . m_{....} m....其为1的对应P，否则是¬P

合取范式

如果一个命题公式可以等价地写出 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . ∧ A n A_1∧A_2∧...∧A_n A1∧A2∧...∧An,其中 A 1 , . . . , A n A_1,...,A_n A1,...,An都是由命题变元或其否定的析取组成的项，则称这种表示形式为合取范式
求一个命题公式合取范式的步骤：
①首先把命题公式各类联结词转化为¬，∧，∨
②利用摩根律，将联结词¬置于各个命题变元的前面
③利用分配律和结合律把命题公式转化为合取范式
命题公式的合取范式不唯一，为了统一命题公式，引入主合取范式：
对于一个含有n个命题变元的命题公式，若已经表示成合取范式，且该合取范式的每个析取项都有n个命题变元或其否定的合取组成，则此合取范式称为主合取范式。
通过给缺少命题变元P的析取项∨0=缺少命题变元P的析取项∨（¬P∧P），再进行展开处理添上缺少的命题变量。
利用真值表求主析取范式：
真值表0的行代表析取项， M . . . . M_{....} M....其为0的对应P，否则是¬P

永真蕴含式

设命题公式A,B，若A→B为永真式，则称A永真蕴含B记为A=>B
常用的永真蕴含式：
①P∧Q=>P
②P=>P∨Q
③P∧(P→Q）=>Q
④¬Q∧(P→Q）=>¬P
⑤（P→Q）∧(Q→R）=>P→R
⑥A→（B→C）=B→（A→C）

推理理论

结论是通过对前提进行“演算”得到的，称为演绎推理
前提与有效结论 ：设 P 1 , . . . , P n P_1,...,P_n P1,...,Pn和Q是命题公式，且有 P 1 ∧ P 2 ∧ . . . ∧ P n = > Q P_1∧P_2∧...∧P_n=>Q P1∧P2∧...∧Pn=>Q，则称 P 1 , . . . , P n P_1,...,P_n P1,...,Pn为前提，Q为这些前提的有效结论。
直接证明法：P规则，T规则

间接证明法，将结论A的否定¬A作为前提最后证得命题公式为永假式。
CP规则，用于结论为A→B，将A作为前提，最后证得命题公式永真蕴含B

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命题逻辑——离散数学part 2

命题

联结词

否定

合取

析取

蕴含