【算法，数学知识】曼哈顿距离

关于曼哈顿距离，假设有两个点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1)$

那么曼哈顿距离就是： $|x_0 - x_1| + |y_0 - y_1|$

这个曼哈顿距离是一个交叉信息项，也就是知道一个点，是无法求出这个值的。也就是需要 O(N ^ 2)。

那么如何降低求的时间复杂度呢，曼哈顿距离有一个转换形式：

Proof：

$|x_0-x_1|=max(x_0-x_1,x_1-x_0)$

$|y_0-y_1|=max(y_0-y_1,y_1-y_0)$

$|x_0-x_1|+|y_0-y_1|=max(x_0-x_1,x_1-x_0)+max(y_0-y_1,y_1-y_0)=max((x_0-x_1)+(y_0-y_1),(x_0-x_1)+(y_1-y_0),(x_1-x_0)+(y_0-y_1),(x_1-x_0)+(y_1-y_0))$

所以，我们要求 N 个点的最大曼哈顿距离，那么就是求所有的 $(+x+y, +x - y, - x + y, -x -y)$ 四种情况中，每种情况的最大差（也就是每种情况求其最大值和最小值，作差），这样子，时间复杂的就降低为了 O(4 * N)。

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